Начало бесконечности

В философии математики существует направление, называемое финитизмом, в котором утверждается, что существуют только конечные абстрактные сущности. Так, например, натуральных чисел бесконечно много, но финитисты настаивают на том, что это просто фигура речи. По их словам, в действительности существует лишь конечное правило для образования каждого натурального числа (или, точнее говоря, его записи) из предыдущего, а ничего реально бесконечного тут нет. Но это учение сталкивается со следующей проблемой: есть ли в ряду натуральных чисел наибольшее? Если есть, то это противоречит существованию правила, позволяющего построить ещё большее число. Если нет, то неверно, что количество натуральных чисел конечно. И здесь финитистам приходится отрицать логический принцип, называемый «законом исключённого третьего», который гласит, что для каждого содержательного утверждения верно либо оно, либо его отрицание. Согласно финитистам получается, что, хотя среди натуральных чисел нет наибольшего, их всё равно не бесконечно много.

Финитизм — это инструментализм применительно к математике: это принципиальное неприятие объяснения. Он пытается рассматривать математические сущности только как процедуры, которым следуют математики, правила для написания значков на бумаге и так далее — и иногда это полезно, но связи с реальностью в этом нет, разве что с конечными объектами из опыта, такими как два яблока или три апельсина. Поэтому финитизм по сути своей антропоцентричен, что неудивительно, так как согласно ему ограниченность есть достоинство теории, а не наоборот. У финитизма есть и ещё один роковой недостаток, который привносят в науку инструментализм и эмпиризм: допущение, что у математиков есть своего рода привилегированный доступ к конечным сущностям, а к бесконечным — нет. Но это не так. Все наблюдения нагружены теорией. Любые абстрактные теоретические рассуждения — тоже. Добраться до абстрактных сущностей, конечных или бесконечных, как и до физических сущностей, можно только через теорию.

Другими словами, финитизм, как и инструментализм, — это не что иное, как план, цель которого помешать достижению прогресса в понимании сущностей, выходящих за рамки непосредственного опыта. А значит, и достижению прогресса вообще, ведь, как я объяснил, в рамках нашего «непосредственного опыта» сущностей нет.

Всё вышеприведённое обсуждение предполагает универсальность разума. Сфера досягаемости науки имеет неотъемлемые ограничения; это относится и к математике, и к любому направлению философии. Но если вы считаете, что существуют границы той области, в которой разум есть должный судья идей, значит, вы верите в иррациональное или в сверхъестественное. Аналогично, если вы отрицаете бесконечное, то вы застряли в конечном, а конечно парохиально. Здесь нельзя остановиться посередине. Самое разумное объяснение чего бы то ни было в конечном счёте включает в себя универсальность, а значит, и бесконечность. Сферу объяснимого нельзя взять и ограничить в приказном порядке.

Одним из проявлений этого в математике стал принцип, впервые явно сформулированный в девятнадцатом веке математиком Георгом Кантором, согласно которому абстрактные сущности можно определить любым желаемым способом через другие сущности при условии, что определения однозначны и непротиворечивы. Кантор заложил основы современного математического исследования бесконечности. В двадцатом веке его принцип отстаивал и обобщал математик Джон Конуэй, который дал ему эксцентричное, но вполне подходящее название — движение за освобождение математиков. Согласно Конуэю, открытия Кантора встретили резкое неприятие со стороны современников, включая большинство математиков того времени и также многих учёных, философов — и богословов. Как это ни парадоксально, религиозные возражения по сути строились на принципе заурядности. Попытки понять бесконечность и работать с ней в них характеризовались как посягательство на прерогативу Бога. В середине двадцатого века, через много лет после того, как исследования в области бесконечности стали обычным для математики делом и нашли в ней бесчисленное множество приложений, философ Людвиг Витгенштейн всё ещё презрительно осуждал их за «бессмысленность». (Правда, в конечном итоге он предъявил это обвинение и философии в целом, включая свою собственную работу, см. главу 12.)