Начало бесконечности

Переезжать таким образом немного неудобно, хотя все номера одинаковые, и их убирают перед заселением нового постояльца. Но людям нравится останавливаться в «Бесконечности». Дело в том, что отель недорогой, всего доллар за ночь, но при этом невероятно роскошный. Как это удаётся? Каждый день, собрав по доллару за комнату, администратор распределяет доход следующим образом. Деньги, полученные от жильцов из номеров 1–1000, идут на шампанское и клубнику для постояльцев, на оплату услуг горничных и остальные расходы, но только для номера 1. На деньги, полученные от жильцов из номеров 1001–2000, оплачивается всё то же самое для номера 2 и так далее. Таким образом, на каждый номер каждый день приходится товаров и услуг на сумму в несколько сотен долларов, но при этом удаётся получить и прибыль, и всё из расчёта одного доллара за сутки.

Слава отеля ширится, и однажды на местную станцию приезжает бесконечно длинный поезд с бесконечным числом пассажиров, которые хотели бы остановиться в отеле. На бесконечно много оповещений по системе громкой связи ушло бы слишком много времени (к тому же по гостиничным правилам каждого постояльца можно просить совершить то или иное действие лишь конечное число раз в день), но это не важно. Администратор просто сообщает: «Просим всех постояльцев немедленно переехать в номер с числом на двери в два раза больше, чем число на двери вашего нынешнего номера». Очевидно, что это не составит труда, и в итоге занятыми окажутся только чётные номера, а в нечётные можно будет заселять вновь прибывших. Этого как раз хватит, чтобы принять бесконечно много новых постояльцев, потому что нечётных чисел ровно столько же, сколько натуральных, что иллюстрируется следующим рисунком:

Таким образом, первый вновь прибывший селится в номер 1, второй — в номер 3 и так далее.

Затем в один прекрасный день на ту же станцию прибывает бесконечное число бесконечно длинных поездов, целиком забитых желающими остановиться в отеле. Но администраторов это не пугает. Они просто немного усложняют объявление, с которым читатели, разбирающиеся в математической терминологии, могут ознакомиться в сноске[45]. В итоге номеров хватает всем.

Однако переполнить отель «Бесконечность» математически возможно. В 1870-е годы Кантор сделал ряд замечательных открытий и среди прочего доказал, что не все бесконечности равны. В частности, бесконечность континуума — число точек на отрезке (которое равно числу точек во всём пространстве или в пространстве-времени) — гораздо больше, чем бесконечность натуральных чисел. Для доказательства этого факта Кантор продемонстрировал, что не существует взаимно однозначного соответствия между натуральными числами и точками отрезка: у этого множества точек порядок бесконечности выше, чем у множества натуральных чисел.

Вот один из вариантов его доказательства, основанное на так называемом диагональном методе. Представьте себе колоду карт: её толщина — один сантиметр, а карты такие тонкие, что на каждое «действительное число» сантиметров между 0 и 1 приходится по карте. Действительные числа можно определить как десятичные дроби, лежащие в этих пределах, например, 0,7071…, где многоточие означает, что дальше знаков может быть бесконечно много. Тогда невозможно раздать эту колоду по одной карте в каждый номер отеля «Бесконечность». Предположим, что колоду всё же удалось распределить таким образом, и докажем, что это приводит к противоречию. Каждому номеру должна соответствовать карта, как, например, в таблице ниже. (Конкретные числа в ней не играют роли, поскольку мы доказываем, что действительные числа нельзя распределить по натуральным ни в каком порядке.)

Обратим внимание на бесконечную последовательность цифр, выделенных полужирным шрифтом — 6996…. А теперь рассмотрим десятичное число, построенное следующим образом: оно начинается с нуля, затем идёт десятичная запятая, а затем произвольные цифры с тем лишь исключением, что каждая из них должна отличаться от соответствующей по номеру цифры в бесконечной последовательности 6996…. Например, можно выбрать такое число: 0,5885…. Карта с построенным таким образом номером не могла попасть ни в один номер в отеле, потому что первой цифрой она отличается от карты, отправленной в номер 1, второй — от карты, попавшей в номер 2, и так далее. Таким образом, она отличается от всех карт, присвоенных номерам в отеле, что противоречит исходному предположению о том, что распределены были все карты.