Начертательная геометрия: конспект лекций

2) указанием 12 точек эллипса. При этом хорды, параллельные P_h, проецируются без искажения на горизонтальную плоскость, а расстояния между этими хордами проектируются на фронтальную плоскость. Вследствие этого проводят через точки следа P_v, которые отмечены цифрами, прямые, перпендикулярные P_v. Затем перпендикулярно этим линиям проводят ось симметрии данного эллипса. Вместе с крайними вспомогательными прямыми ее пересечение определит точки эллипса 0 и 6, т. е. концы большой оси. После этого от точек А, В и С следует отложить в обе стороны половины соответствующих хорд (Al = а1, В2 = b2, C3 = с3).

В данном случае хорда 3–9 является малой осью эллипса.

Развертка. На рисунке 106 показано построение развертки боковой поверхности неусеченного цилиндра. Эта боковая поверхность в развернутом состоянии является прямоугольником, основание которого равно длине окружности (πD), а высота – образующей цилиндра.

В данном случае длина окружности заменена периметром вписанного правильного 12-угольника (рис. 106), после чего через соответствующие точки делений спрямленной окружности проведены образующие. При этом на каждой образующей отмечена ее точка встречи с плоскостью Р.

2. Сечение поверхности конуса

В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину (рис. 107в). Образующие одной полости представляют собой продолжение образующих другой полости. На практике мы имеем дело не с бесконечно расширяющимися двумя полостями конической поверхности, а с телом, которое ограничено одной полостью этой поверхности и плоскостью, что является обычным круговым конусом.

Бывают различные случаи сечения поверхности кругового конуса плоскостью.

1. Эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной образующей (рис. 107б). Здесь секущая плоскость пересекает поверхность только одной полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса меньше угла, который образующая конуса составляет с основанием конуса (рис. 108б). Здесь угол является углом, который образующая составляет с основанием.

В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (φ = α), окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.

2. Парабола, если секущая плоскость параллельна только одной образующей (рис. 107в). Здесь секущая плоскость не пересекает вторую полости конуса, а угол наклона v₁φ секущей плоскости по отношению к основанию конуса равен углу (рис. 108в).

На рисунке 108в плоскость Q параллельна образующей SA, а ось параболы параллельна этой образующей.

3. Гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим (рис. 107а). При этом секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса больше угла (рис. 108а). На этом рисунке для указания двух образующих, которым параллельна секущая плоскость R, нужно провести через вершину конуса плоскость R₁, которая параллельна плоскости R. Плоскость R₁ должна пересечь поверхность конуса по образующим SA и SB, которым будет параллельна плоскость R.

Заметим, что лишь в случае гиперболы секущая плоскость будет пересекать обе полости конуса. Значит любая плоскость, которая пересекает обе полости конуса, обязательно будет пересекать его поверхность по гиперболе.

4. Пара прямых, если секущая плоскость проходит через вершину конуса и угол ее наклона к основанию конуса больше угла (рис. 107 г). Этот случай иногда рассматривают как частный случай гиперболы.

Анализируя рисунок 108, заметим, что фронтально-проецирующая плоскость может давать сечения всех рассмотренных выше видов.

3. Сечение поверхности шара

Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы будем получать эллипс. В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций, на этой плоскости проекцией окружности является отрезок прямой, который равен диаметру этой окружности.

На рисунке 109 показано пересечение поверхности шара горизонтально-проектирующей плоскостью Р. На горизонтальную плоскость сечение будет проецироваться в виде отрезка проекции р плоскости Р, который заключён между контуром шара и равен диаметру окружности сечения. На фронтальной плоскости мы получим эллипс. О₁ является центром окружности, который получен в сечении шара. Он расположен на одной высоте с центром шара О. Горизонтальная проекция о₁ центра О₁ окружности располагается посредине отрезка ab. Перпендикуляр, который опущен из точки о на прямую ab, попадает в точку о₁, являющуюся горизонтальной проекцией центра окружности сечения. Фронтальная проекция о́₁центра окружности является центром интересующего нас эллипса.