Наука логики. Том 2

Как известно, арифметику и более всеобщие наукио дискретной величине по преимуществу называют аналитической наукой и анализом. Способ познания в этих науках и в самом деле наиболее имманентно аналитичен, и мы должны вкратце рассмотреть, в чем заключается основание этого факта. Прочее аналитическое познание начинает с некоторого конкретного материала, содержащего в себе некоторое случайное многообразие; всякое различие содержания и поступательное движение к дальнейшему содержанию зависят от указанного конкретного материала. Напротив, арифметический и алгебраический материал есть нечто уже сделанное совершенно абстрактным и неопределенным, материал, в котором истреблено всякое своеобразие отношения и для которого, стало быть, теперь всякое определение и всякое связывание есть нечто внешнее. Таким материалом является принцип дискретной величины, одно. Эта лишенная всякого отношения атомистическая единица может быть умножена для образования некоторого множества, элементы которого можно внешним образом определить и соединить в некоторую численность; но этот процесс умножения и ограничения есть пустое поступательное движение и процесс определения, не идущий дальше того же самого принципа абстрактного одного. Далее, каким образом соединяются и разъединяются числа, это зависит исключительно только от полагания познающего. Все эти определения делаются вообще внутри категории величины, а она представляет собой ставшую безразличной определенность, так что предмет не обладает никакой такой определенностью, которая была бы ему имманентна и, следовательно, была бы дана познанию. Поскольку познание дало себе первоначально некоторое случайное многообразие чисел, они составляют материал для дальнейшей обработки и многообразных соотношений. Такие соотношения, их нахождение и обработка кажутся, правда, отнюдь не имманентными аналитическому познанию, а чем-то случайным и данным (и в самом деле, эти соотношения и связанные с ними операции излагаются обычно друг за другом как разные, без указания внутренней связи между ними). Однако здесь нетрудно распознать движущий принцип, а именно – имманентный принцип аналитического тождества, которое в разнящемся выступает в виде равенства; движение вперед состоит здесь в сведении неравного к все бо́льшему и бо́льшему равенству. Чтобы иллюстрировать это на примере из первых элементов математики, укажем, что сложение есть сочетание совершенно случайно неравных чисел, умножение же, напротив – равных чисел, а затем еще следует отношение равенства между численностью и единицей, т. е. степенное отношение[100].

Так как определенность предмета и отношений есть положенная определенность, то дальнейшие операции с ними тоже совершенно аналитичны, и в аналитической науке имеются поэтому не столько теоремы, сколько задачи. Аналитическая теорема содержит в себе задачу уже как решенную самоё по себе, и совершенно внешнее различие, присущее тем двум сторонам теоремы, которые в ней приравниваются друг к другу, столь несущественно, что такая теорема должна была бы показаться тривиальным тождеством. Кант, правда, объявил предложение «5 + 7 = 12» синтетическим предложением на том основании, что одно и то же содержание на одной стороне представлено в форме нескольких чисел, в форме 5 и 7, а на другой стороне в форме одного числа, в форме 12[101]. Однако если аналитическое предложение не должно означать совершенно абстрактно тождественное и тавтологическое «12 = 12» и в нем вообще должно быть некоторое движение вперед, то должно быть налицо какое-нибудь различие, но такое различие, которое не основывается ни на каком качестве, ни на какой определенности рефлексии и тем паче ни на какой определенности понятия. «5 + 7» и «12» суть совершенно то же самое содержание; в первой стороне равенства выражено также и требование, чтобы 5 и 7 были сочетаны в одном выражении; а это означает, что, подобно тому как 5 есть нечто сосчитанное, причем прекращение счета на этом числе было совершенно произвольным и счет мог бы с таким же успехом быть продолжен и дальше, так теперь следует считать дальше с условием, чтобы число долженствующих быть прибавленными единиц равнялось 7. «12» есть, следовательно, результат 5 и 7 и такого действия, которое здесь уже положено и по своей природе тоже есть некоторое совершенно внешнее, чуждое мысли дело, так что этот результат может поэтому быть осуществлен также и машиной. Здесь нет ни малейшего перехода к некоторому другому; это просто процесс продолжения, т. е. повторения того же самого действия, через которое произошли 5 и 7.