Наука Плоского Мира III: Часы Дарвина

Отель Гилберта призывает нас к осторожности, когда мы делаем предположения относительно бесконечности. Она может быть не похожей на обычное конечное число. Если вы добавите к бесконечности единицу, она не станет больше. Если вы умножите бесконечность на бесконечность она всё равно не станет больше. Вот что такое бесконечность. Фактически проще сделать вывод о том, что любое действие с бесконечностью будет равняться бесконечности, потому что вы не сможете получить ничего больше чем бесконечность.

Вот как все считали, и это действительно так, но только если все ваши потенциальные бесконечности состоят из конечного числа шагов, которые вы делаете бесконечно долго.

Но в 1880 году Кантор поразмыслил о фактических бесконечностях и открыл ящик Пандоры с бесконечностями всех размеров. Он назвал их трансконечными числами и обнаружил их когда работал в классической, традиционной области анализа. Они были чертовски сложными штуками и привели его в ранее неизведанные закоулки. Погрузившись в глубокие размышления о природе этих вещей, Кантор отвлёкся от своей работы в совершенно респектабельной области анализа, и начал думать о более сложных вещах.

О подсчете.

Обычный способ знакомства с числами — это научить детей считать. Они узнают, что числа это «штуки, которые используются для счёта». Вот к примеру «семь» это там где вы окажетесь если начнёте считать с понедельника до воскресенья. Так что количество дней в неделе равно семи. Но что за зверь это «семь»? Слово? Нет, потому что вместо него можно использовать символ 7. Символ? Но тогда вместо него есть слово, и в любом случае, в какой-нибудь Японии используется совсем другой символ. Так что же такое семь? Легко сказать что такое семь дней, семь овец или семь цветов радуги… но что само по себе значит число? Вы вряд ли сталкивались с явной семёркой, она всегда соотносится с некой совокупностью вещей.

Кантор решил превратить нужду в добродетель и заявил, что число — это что-то, имеющее отношение к набору или скоплению вещей. Вы можете собрать набор из вообще любой коллекции вещей. Интуитивно понятно, что номер, который вы получите во время подсчета показывает, сколько вещей принадлежат к этому набору. Количество дней в неделе определяется числом «семь». Удивительная особенность подхода Кантора заключается в следующем: вы можете узнать, находятся ли в другом наборе семь предметов без каких-либо подсчетов. Для этого вам лишь нужно соотнести члены наборов друг с другом так, чтобы каждому члену из первого набора был подобран элемент из второго. Если, к примеру, второй набор — это цвета спектра, то наборы будут соотнесены таким образом: понедельник — красный, вторник — оранжевый, среда — желтый, четверг- зеленый, пятница — голубой, суббота — фиолетовый[63], воскресенье — октариновый.

Порядок, в котором вещи будут пронумерованы абсолютно неважен. Но нельзя соотносить вторник сразу и с фиолетовым, и с зеленым, или зеленый и со вторником, и с воскресеньем. Или пропускать некоторые элементы.

К примеру, вы попадете в беду, если захотите соотнести дни недели со слонами, на которых стоит Диск: воскресенье- Берилия, понедельник- Тьюбул, вторник- Великий Т’Фон, среда-Джеракин, а четверг?

Точнее, у вас кончатся слоны. Даже если мифический пятый слон возьмет на себя четверг.

В чем разница? Ну, в неделе семь дней, а в спектре семь цветов, поэтому вы можете соотнести эти два множества. А вот слонов у вас всего четыре (ну, может, пять), а четыре или пять никак нельзя приравнять к семи.

Глубокий философский смысл здесь в том, что вам не нужно знать чисел четыре, пять и семь, чтобы обнаружить что нет никакого способа соотнести эти два множества. Разговор о величине цифр подобен размахиванию кулаками после драки. Соотнесение логически первостепенно по отношению к счёту.[64]

Пока что ничего нового. Но соотнесение имеет смыл не только для конечных множеств, но и для бесконечных. Вы даже можете соотнести четные числа с остальными:

2 1

4 2

6 3

8 4

10 5 и так далее. Подобные соответствия объясняют происходящее в отеле Гилберта. Вот как у Гилберта появилась идея (помните, крыша вперед фундамента).

Какое же кардинальное число соответствует всем числам (и, соответственно, любого множества, которое можно с ним соотнести)? Классическое название это «бесконечность». Однако Кантор, будучи осторожным, предпочел название, которое не так сильно цепляло внимание, поэтому в 1883 году он дал ему имя «Алеф» — по первой буква еврейского алфавита, и подписал под ней небольшой ноль, по причинам, которые выяснились довольно скоро: Алеф-нуль.

Он знал что именно он начал:

«Я точно знаю, что выбрав такую процедуру я противопоставил свою позицию широко распространённому мнению относительно бесконечности в математике и текущим взглядам на природу числа. " Он получил то, что и ожидал: много критики и особенно от Леопольда Кроникера. «Бог создал целые числа: всё остальное — дело рук человеческих» — заявлял Кроникер.

Сейчас, правда, большинство их нас думает, что и целые числа создал человек.