Наука Плоского мира. Книги 1-4

То, что они придумали, теперь называется топологией и составляет основу качественного описания формы, не требующего количественных измерений. В этом разделе математики две фигуры считаются одинаковыми, если одну из них можно превратить в другую с помощью непрерывной деформации. Пончик, к примеру (тот, что с дыркой), не отличается от кофейной чашки. Представьте, что чашка состоит из гибкого материала, который легко сгибается, сжимается или растягивается. Для начала можно выровнять углубление чашки, превратив ее в диск; при этом ручка по-прежнему соединяется с его краем. Затем можно сжать диск, чтобы его толщина совпала с толщиной ручки, и получилось кольцо. Остается лишь немного его надуть, и у вас получится пончик. На самом же деле с точки зрения тополога обе фигуры представляют собой деформированный комок, к которому присоединена одна ручка.

Топологическая ипостась «формы» задается вопросом, похожа ли наша Вселенная на сферический комок вроде английского пончика, на тор вроде американского, или на что-то более сложное.

Оказывается, что муравей, знакомый с топологией, может узнать очень многое о форме своего мира, если будет толкать туда-сюда связанную в кольцо нить и наблюдать за тем, как она себя ведет. Если в пространстве есть дырка, муравей сможет продеть сквозь нее петлю, а так как он все время остается на поверхности, то вытащить петлю, не разорвав ее, он не сможет. При наличии нескольких дырок муравей сможет продеть петлю в каждую из них это поможет ему узнать количество дыр и их взаимное расположение. В пространстве без дыр любую петлю, которая никогда не выйдет за пределы поверхности, можно расталкивать сколько угодно, пока она вся не соберется в одном месте.

Требуется некоторое усилие, чтобы привыкнуть к муравьиному мышлению, которое ограничивается внутренними свойствами пространства, однако без него современная космология попросту лишена смысла, так как гравитация, будучи переосмысленной в рамках общей теории относительности Эйнштейна, превратилась в кривизну пространства-времени, основанную на римановом обобщении замечательной теоремы Гаусса.

До этого момента мы понимали слово «кривизна» в достаточно широком смысле: как именно искривляется пространство. Теперь же нам придется быть более осмотрительными, так как с точки зрения муравья кривизна представляет собой более тонкое понятие, смысл которого немного отличается от того, что мы, вероятно, ожидаем. В частности, муравей, живущий на поверхности цилиндра, будет настаивать на том, что его Вселенная не искривлена. Возможно, с точки зрения внешнего наблюдателя цилиндр выглядит как свернутый лист бумаги, однако геометрия маленьких треугольников на поверхности цилиндра в точности совпадает с аналогичной геометрией на евклидовой плоскости. Доказательство: просто разверните бумагу. Длины и углы, измеренные внутри бумаги, остаются без изменений. Таким образом, муравей, живущий на поверхности цилиндра, будет считать его плоским.

Математики и космологи согласны с мнением муравья. Тем не менее, цилиндр в некотором отношении отличается от плоскости. Если муравей начинает движение в какой-нибудь точке цилиндра и движется, строго придерживаясь направления, которое кажется ему прямой линией, то спустя какое-то время он вернется в исходную точку. Его траектория опоясывает цилиндр и возвращается в начало пути. С прямыми на плоскости такого не бывает. Это топологическое различие, и гауссова кривизна не в состоянии его уловить.

Мы упомянули цилиндр не только потому, что он хорошо известен, но и из-за его двоюродного брата, который играет важную роль и называется плоским тором если что-то и можно назвать оксюмороном, то именно его, потому что тор выглядит как пончик с дыркой, а его кривизна очень приятна на вкус. Тем не менее, его название не лишено смысла. С точки зрения метрики пространство является плоским, не имеет кривизны; однако топологически оно представляет собой тор. Чтобы получить плоский тор, нужно мысленно склеить противоположные стороны квадрата, а квадрат имеет плоскую форму. Это построение аналогично склеиванию противоположных краев экрана в компьютерных играх стоит какому-нибудь монстру или кораблю инопланетян свалиться с одного края, как он тут же снова появляется в той же самой позиции на противоположной стороне. В программировании игр этот метод называется «свертыванием»[336] так это воспринимается на практике, хотя вы и не станете делать этого в прямом смысле, если, конечно, не хотите устроить бардак из разбитых экранов. С точки зрения топологии свертывание вертикальных краев превращает экран в цилиндр. Сворачивая горизонтальные края, мы соединяем два конца цилиндра и получаем тор. Теперь никаких краев нет, и пришельца не смогут сбежать.