Наука Ренессанса. Триумфальные открытия и достижения естествознания времен Парацельса и Галилея. 1450–1630

Алгебра в конце XVI века продолжала прогрессировать, особенно в работах Виета и Томаса Гариота (1560–1621). Оба трудились над кубическими уравнениями, изобретая новые методы их решения и решения уравнений более высокой степени. (Они сводили кубическое уравнение к форме у⁶ + у³ = а, которую можно было рассматривать как квадратное уравнение, а уравнения более высоких степеней решали методом аппроксимации.) Другим серьезным шагом вперед стал разработанный Виетом способ понижения степеней уравнений, то есть сведения сложных уравнений к более приемлемым формам. Виет также уделял много времени площадям фигур, ограниченных сложными кривыми. Продолжало развиваться национальное деление: труды Виета оказали влияние в основном на французскую математику, а английские математики предпочитали черпать идеи у Гариота.

Арифметика была полезна в домашнем хозяйстве и на рынках; алгебра позволяла решить хитроумные задачи, которые, в свою очередь, были применимы в коммерческой практике. Но только к науке все это не имело отношения. Арифметика, конечно, использовалась в астрономических расчетах, но предлагаемые ею методы были слишком обременительными. Астрономические вычисления оставались тяжелой монотонной работой, которую мало кто любил. К счастью для астрономии, во все времена находились ученые, которым нравилось сражаться с большими цифрами. Яркий пример – Кеплер. Даже сравнительно несложные астрономические расчеты затрагивали еще одну отрасль математики, интересную только для астрономов, – древнее искусство тригонометрии. Она получила свое развитие у греческих астрономов, в первую очередь у Гиппарха и Птолемея, поскольку существовала необходимость измерять и линейную, и угловую скорости. Греческая тригонометрия первоначально занималась определением длины дуги путем измерения длины хорды соответствующего круга. Таким образом, на рис. 8, если тело движется от А к В по дуге окружности, пройденное расстояние можно определить или измерением угла АОВ при известной длине радиуса АО, или из длины радиуса и хорды АВ. Таблицы хорд, составленные Птолемеем, давали их длины как части диаметра окружности и соответствующие длины дуг. Разные индо-арабские открытия привели к инновации: треугольник стали делить пополам, чтобы получился прямоугольный треугольник, в котором очень важно отношение половины угла в центре окружности (точка О на рисунке) и радиуса. Это и есть тригонометрический синус, хотя в современной форме появился только в XVIII веке. Тангенсы появились в результате измерения тени для расчета времени. В XV веке прямоугольный треугольник был заменен треугольником, вписанным в круг. В результате образовался косинус – очень полезная тригонометрическая функция. Секанс и косеканс тоже стали известными в XV веке как побочные продукты навигационных таблиц. Так же как косинус и тангенс, они получили современные названия в XVI веке. Сферическая тригонометрия, рассматривавшая треугольники, образующиеся пересечением окружностей на сфере, широко использовалась в астрономических вычислениях. Отсюда «доктрина сфер», которая началась как простейшая отрасль математической астрономии, включающая только название и определение местонахождения больших кругов Вселенной.

Рис. 8. Геометрическое происхождение тригонометрического синуса

Прогресс в тригонометрии шел упорядоченно: по большей части в «одной упряжке» с математической астрономией. Пурбах и Региомонтан изучали птолемееву астрономию, а также тригонометрию и наряду с астрономическими трактатами писали тригонометрические. Пурбах удовлетворился новой таблицей синусов; Региомонтан написал «О треугольниках» (1464, опубликовано в 1533 г.) – полный обзор плоской и сферической тригонометрии. Коперник добавил новые тригонометрические таблицы в качестве приложения к первой книге De Revolutionibus, подражая Птолемею, а его таблицы были усовершенствованы Ретиком. В конце XVI века пришло понимание того, что тригонометрические знания могут быть полезны и людям других профессий. Самые прогрессивные и современные учебные пособия по навигации стали включать основы тригонометрии. Уильям Боро (1537–1598), опытный моряк, на практике познавший исключительную полезность математических знаний, убеждал читателей написанной им книги «Беседы о склонении компаса» (Discourse on the Variation of the Cumpas, 1581) сравнить его мнение с мнением Региомонтана, явно бывшего для него авторитетом. Он с презрением отнесся к таблице синусов, составленной Ретиком, считая, что она хуже, чем таблица Рейнгольда. Он надеялся опубликовать лучшие таблицы, «которые можно будет использовать в навигации и космографии».