Наука Ренессанса. Триумфальные открытия и достижения естествознания времен Парацельса и Галилея. 1450–1630

Геометрия, несомненно, была и самой полезной, и самой продвинутой отраслью математики. Возможно, по этой причине ей уделялось сравнительно меньше внимания, чем другим отраслям. Большое значение придавалось постижению трудов древних, и только самые прогрессивные математики могли надеяться, что им удастся развить новые формы. Много времени уделялось Архимедову геометрическому анализу твердых и плоских поверхностей – этой работе предстояло доказать свою целесообразность только в следующем веке. Франческо Мавролико (1494–1575), считавшийся одним из лучших геометров XVI века и авторитетом в области геометрической оптики, написал труд о конических сечениях, рассматривая их, в отличие от Аполлония, как действительно плоские сечения конуса. Не утрачивался интерес и к платоновым правильным многогранникам, и к асимметричным телам – впервые ими заинтересовался обозначил Лука Пачоли (ум. в 1510 г.) в «Божественной пропорции» (Divine Proportion, 1509). Астроном Кеплер в 1615 году опубликовал труд по стереометрии винных бочек: стараясь установить правильный метод определения объема содержимого винного бочонка, он коснулся определения площадей и объемов методом бесконечно малых величин, а не более привычным методом перебора. Он также исследовал разные тела, получающиеся вращением конического сечения вокруг оси, лежащей в его плоскости. В результате получил девяносто два разных тела. Кеплер, как и Мавролико, внес существенный вклад в развитие математической оптики. В действительности самые важные геометрические труды XVI века касались применения геометрии в оптике, астрономии и механике.

В XV и XVI веках люди в основном занимались тем, что сегодня мы бы назвали элементарной математикой, – вычислениями с помощью индо-арабских цифр, а также решением квадратных и кубических уравнений. Эти два типа математики обычно объединялись под общим термином – арифметика, который к этому времени утратил свое исконное греческое значение (теория чисел) и начал вытеснять средневековый термин – алгоритм. (Алгоритм – вычисление с помощью арабских цифр – искажение имени исламского математика IX в. аль-Хорезми; слово алгебра – искажение названия трактата, в котором он описал искусство решения задач арифметическими, а не геометрическими методами.)

Использование арабских цифр было известно специалистам уже несколько веков; трактат аль-Хорезми по этому вопросу был одним из первых арабских текстов, переведенных в XII веке. А трактат XIII века Леонардо Пизанского (его название «Книга абаки» вводит в заблуждение; на самом деле он сделал абаку [счеты] ненужной) был ясным, кратким и очень полезным изложением главных используемых методов. Но арабские цифры медленно вытесняли счеты. И это было вовсе не так странно, как может показаться. Даже в XVI веке правила простой арифметики казались людям очень сложными для понимания, а письменное деление столбиком действительно занимало очень долгое время[136]. В то же время быстрые и несложные методы более простых арифметических операций были востребованы, особенно в торговых городах Италии и Германии. Чтобы удовлетворить спрос, в конце XV века появилось немало трактатов на эту тему на местных языках. В них рассматривались самые разные вопросы от нумерации до двойной бухгалтерии, от простого сложения до решения квадратных уравнений, от умножения до извлечения корней. Самый полный и подробный трактат XV века – «Сумма», написанный Лукой Пачоли в 1487 году (был опубликован только в 1494 г.), – включал арифметику, алгебру и (кратко) практическую геометрию, став полезным учебником математики.

И в арифметических, и в алгебраических операциях были необходимы некоторые сокращения, да и вообще книгопечатание без сокращений являлось неслыханной идеей в XV веке, все еще находящемся под влиянием стиля манускрипта. Первыми арифметическими знаками стали сокращенные формы слов plus и minus. Современные значки, которые мы используем для обозначения этих операций, впервые появились как торговые символы, обозначающие перевес или недовес тюков или ящиков с товарами. Большинство алгебраических символов XVI века также были не столько символами, сколько сокращенными формами слов. Отдельные термины использовались для степеней, чтобы избежать написания целого словесного выражения. Преимущества символизма становились очевидными медленно. (Даже в конце XVII в. математики писали то аа, то а².) Все мы хорошо знакомы с системой арифметического и алгебраического символизма, которая считается стандартной уже больше двух веков, и потому мы склонны предполагать, что каждый символ имеет присущие ему достоинства, и считать раннее принятие любого из них достижением. События XVI века показывают, что это заблуждение, и большинство современных символов обязаны своим появлением одной лишь удаче. Пока математики медленно и с трудом переходили от алгебры сокращений (часто ее называют синкопированной алгеброй) к алгебре символов, многие полезные знаки были утрачены[137].