Ноль: биография опасной идеи

При использовании ковриков меньшего размера аппроксимация делается лучше и лучше. Предположим, что пятно покрывается пятью ковриками размером в одну восьмую квадратного фута. Значит, площадь пятна не больше пяти восьмых квадратного фута, что меньше нашей оценки при помощи коврика в один квадратный фут. По мере того как вы берете все меньшие и меньшие коврики, покрытие делается все лучше и лучше, и их общая площадь все больше приближается к истинному размеру пятна. На самом деле вы можете определить площадь пятна как предел площади ковриков, когда площадь каждого из них стремится к нолю (рис. 43).

Рис. 43. Покрытие пятна ковриками

Проделаем то же самое с рациональными числами, но на этот раз наши коврики — это наборы чисел. Например, число 2,5 «покрывается» ковриком, который включает, скажем, все числа между 2 и 3: это коврик размера 1. Использование такого рода коврика для покрытия рациональных чисел имеет некоторые весьма странные последствия, как показал Кантор с помощью своей карты «рассадки». Карта «рассадки» охватывает все рациональные числа — соотносит каждое из них с его «местом», так что их можно пересчитать одно за другим по порядку, основываясь на номере их «места». Возьмите первое попавшееся рациональное число и поместите его на числовую ось. Накройте его ковриком размера 1. Этим ковриком будет накрыто множество других чисел, но об этом мы можем не беспокоиться. Пока накрыто наше первое число, все в порядке.

Теперь возьмем второе число. Накроем его ковриком размера ¹/₂. Возьмем третье число и накроем его ковриком размера ¹/₄ и т. д. Продолжая процесс до бесконечности, поскольку каждое рациональное число присутствует на карте «рассадки», получим, что каждое рациональное число покрыто ковриком. Какова же суммарная площадь ковриков? Это наша старая приятельница, ахиллесова сумма. Складывая площади ковриков, мы получим сумму 1 + ¹/₂ + ¹/₄+ ¹/₈ + … + ¹/_2ⁿ, которая стремится к 2, когда n стремится к бесконечности. Таким образом, мы можем накрыть бесконечное множество рациональных чисел на числовой оси набором ковриков, общая площадь которых равна 2. Это означает, что все рациональные числа оси можно загнать на отрезок длиной меньше двух единиц пространства.

Как мы поступали в случае пятна, сделаем размеры ковриков еще меньше, чтобы получить лучшую аппроксимацию. Если вместо того, чтобы начинать с коврика размера 1, начать с коврика размером в ¹/₂ , то общая сумма площадей окажется равной 1. Значит, рациональные числа в сумме занимают меньше одной единицы пространства. Если мы начнем с первого коврика размера ¹/₁₀₀₀ , все коврики займут меньше ¹/₅₀₀ единицы пространства, и все рациональные числа уместятся меньше чем на ¹/₅₀₀ единицы пространства. Если мы начнем с коврика размером в один атом, мы сможем накрыть все рациональные числа на числовой оси ковриками, которые в сумме имеют площадь меньшую, чем атом. Однако даже такие крохотные коврики, что могут все вместе уместиться в одном атоме, накроют все рациональные числа (рис. 44).

Рис. 44. Покрытие рациональных чисел

Мы можем брать какие угодно малые коврики, мы можем накрыть все рациональные числа ковриками, в сумме имеющими площадь в половину атома, в нейтрон или в кварк — столь малыми, какие только можем вообразить.

Так каков же тогда размер совокупности рациональных чисел? Мы определили размер как предел — сумму площадей ковриков, размер каждой из которых стремится к нолю.

Однако одновременно мы видели, что по мере уменьшения ковриков сумма покрывающих площадей делается все меньше и меньше, меньше атома, кварка или миллионной доли кварка — и при этом покрывает все рациональные числа. Каков предел величины, без остановки делающейся все меньше и меньше? Ноль.

Каков размер совокупности рациональных чисел? Они не занимают никакого пространства. Эту концепцию трудно воспринять, однако она истинна.

Несмотря на то, что рациональные числа находятся повсюду на числовой оси, они совсем не занимают места. Если бы мы кинули дротик в числовую ось, он никогда не попал бы в рациональное число. Никогда. И хотя рациональные числа не занимают места, этого нельзя сказать об иррациональных, потому что для них нельзя составить карты «рассадки» и пересчитать их по одному: всегда останутся неохваченные. Кронекер ненавидел иррациональные числа, но они занимают все место на числовой оси.

Бесконечность рациональных чисел — всего лишь ноль.

Глава 7 Абсолютные ноли

Физика ноля

Осмысленная математика включает пренебрежение количеством, когда оно мало, но не пренебрежение, когда оно бесконечно велико и когда вам этого не хочется!

Поль Дирак