Ноль: биография опасной идеи

Кантор обобщил этот прием. Он сказал, что два числовых множества чисел имеют одинаковую мощность, если один набор «садится» на другой набор — по одному числу на одно число другого набора — и не остается излишка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}; он имеет ту же мощность, что и {2, 4, 6}, потому что мы можем создать точный паттерн «рассадки»: все числа «сидят», и все «места» заняты.

Однако это не так с набором {2, 4, 6, 8}, потому что 8 оказывается пустым «местом»:

Дело приобретает особенно интересный характер, когда у вас имеется бесконечное множество. Рассмотрим множество всех чисел {0, 1, 2, 3, 4, 5…}. Очевидно, что оно равномощно самому себе: можно каждое число просто «посадить» на самого себя.

Здесь нет никакой уловки. Каждое множество, очевидно, равно (и равномощно) самому себе. Но что случится, если мы начнем убирать числа из набора? Например, что будет, если мы уберем ноль? Как ни странно, устранение ноля совсем не изменит размер мощности множества. Несколько изменив «рассадку», мы можем обеспечить, чтобы у всех было место и все места были заняты.

Набор остался той же мощности, несмотря на то, что мы из него кое-что убрали. На самом деле из набора целых чисел мы можем убрать бесконечное количество элементов — можем исключить, например, нечетные числа — мощность множества останется неизменной. Все по-прежнему имеют места, и каждое место занято.

Это есть определение бесконечного: это нечто, что может оставаться той же мощности, даже если вы из него что-то вычтете.

Четные числа, нечетные числа, целые числа — все эти множества имеют одинаковую мощность, размер, которую Кантор обозначил как ₀ (алеф-ноль, названный так по первой букве еврейского алфавита). Поскольку эти наборы имеют ту же мощность, что и множество натуральных чисел, любое множество мощности ₀ называется счетным. (Конечно, на самом деле вы не можете их пересчитать, если не располагаете бесконечным временем.) Даже множество рациональных чисел — множество чисел, которые могут быть записаны как a / b для целых чисел a и b, — является счетным. Ловко отведя рациональным числам подобающие места, Кантор показал, что рациональные можно «рассадить» по стульям с натуральными номерами, то есть что они образуют множество размера ₀ (см. Приложение D).

Однако, как было известно Пифагору, рациональные числа вовсе не заполняют все под солнцем. Рациональные и иррациональные числа в совокупности составляют так называемые вещественные числа. Кантор открыл, что множество вещественных чисел много больше множества рациональных чисел. Его доказательство было очень простым.

Представьте себе, что у вас имеется идеальный план «рассадки» вещественных чисел: каждое вещественное число имеет место, и каждое место занято. Это означает, что мы можем сделать список мест с указанием номера места одновременно с тем вещественным числом, которое на нем сидит. Например, наш список мог бы выглядеть примерно так:

Место . . . . . . . . . . Вещественное число

1 . . . . . . . . . . . . . . 3125123…

2 . . . . . . . . . . . . . . 7843133…

3 . . . . . . . . . . . . . . 9999999…

4 . . . . . . . . . . . . . . 6261000…

5 . . . . . . . . . . . . . . 3671123…

и т.д. . . . . . . . . . . .и т.д.

Уловка удалась, когда Кантор создал вещественное число, которого не было в списке.

Посмотрите на первую цифру первого числа в списке. В нашем примере это 3. Если бы наше новое число было равно первому числу в списке, его первой цифрой тоже было бы 3, но мы с легкостью можем воспрепятствовать этому. Давайте просто скажем, что наше новое число начинается с цифры 2. Поскольку первое число в списке начинается с 3, а новое число — с 2, мы знаем, что эти числа различны. (В строгом смысле слова это не так. Число 3,00000… равно числу 2,99999…, поскольку существует два способа записи многих рациональных чисел. Однако это мелочь, которую легко преодолеть. Для ясности мы проигнорируем это исключение.)

Теперь перейдем ко второму вещественному числу. Как мы можем быть уверенными в том, что наше новое число отличается от второго числа из списка? Что ж, мы уже определили первую цифру нашего нового числа, так что не можем повторить в точности ту же уловку, но можем сделать кое-что не хуже. Второе число нашего списка имеет вторую цифру 8. Если наше новое число имеет вторую цифру 7, мы можем убедиться, что наше новое число не совпадает со вторым числом из списка, поскольку их вторые цифры отличаются друг от друга. Значит, они не одинаковы. Мы продолжаем делать то же самое, двигаясь по списку: рассматриваем третью цифру третьего числа и меняем ее, рассматриваем четвертую цифру четвертого числа и меняем ее — и так далее.