Ноль: биография опасной идеи

Иоганн Кеплер, ученый, открывший, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, распространил эту идею — идею бесконечно удаленной точки — еще на один шаг вперед. Эллипсы имеют два фокуса; чем более удлиненным является эллипс, тем дальше отстоят друг от друга фокусы. Все эллипсы обладают одним и тем же свойством: если бы у вас оказалось зеркало эллиптической формы и вы поместили в один из фокусов лампочку, все световые лучи сошлись бы в другом фокусе, вне зависимости от того, насколько вытянут был бы эллипс (рис. 29).

Рис. 29. Световые лучи в эллипсе

Кеплер в уме все больше и больше вытягивал эллипс, удаляя его фокус все дальше. Потом Кеплер вообразил, что второй фокус удален бесконечно далеко: он стал точкой в бесконечности. Неожиданно эллипс превратился в параболу, а все прямые, сходившиеся к точке, сделались параллельными. Парабола — это просто эллипс с одним фокусом в бесконечности (рис. 30).

Рис.30. Растягивание эллипса дает параболу

Рис.31. Получение эллипса и параболы с помощью фонарика

Это можно увидеть с помощью фонарика. Войдите в темную комнату и встаньте у стены. Направьте свет фонарика прямо на стену. На стене вы увидите ясный круг света. Теперь медленно наклоняйте фонарик вверх (рис. 31). Вы увидите, что круг растягивается в эллипс, который делается все длиннее и длиннее по мере того как вы увеличиваете наклон. Неожиданно эллипс раскрывается и превращается в параболу. Таким образом кеплеровская бесконечно удаленная точка доказала, что параболы и эллипсы в сущности одно и то же.

Это было началом проективной геометрии, дисциплины, в которой математики рассматривают тени и проекции геометрических фигур, чтобы узнать их скрытые свойства, даже более примечательные, чем родственность парабол и эллипсов. Впрочем, все зависело от того, признавалась ли бесконечно удаленная точка.

Жерар Дезарг, французский архитектор XVII века, был одним из зачинателей проективной геометрии. Он использовал бесконечно удаленную точку для доказательства ряда важных новых теорем, однако коллеги Дезарга не могли понять его терминологии и сочли его сумасшедшим. Хотя некоторые математики, например Блез Паскаль, оценили работы Дезарга, они были забыты.

Для Жана-Виктора Понселе это не имело значения. Как ученик Монжа, Понселе освоил систему построения проекций в двух плоскостях, а будучи военнопленным, имел достаточно свободного времени. Он использовал свое пребывание в плену для того, чтобы заново открыть концепцию бесконечно удаленной точки. Использовав ее для развития идей Монжа, он стал подлинным создателем проективной геометрии. По возвращении из России (он привез с собой счеты — русский абак, к тому времени архаическую диковинку) Понселе поднял проективную геометрию до уровня настоящего высокого искусства[30]. Впрочем, Понселе не имел представления о том, что проективная геометрия раскроет таинственную природу ноля, потому что для этого требовался второй важный прорыв, еще один важный компонент — комплексная плоскость. За этой частью загадки мы должны отправиться в Германию.

Карл Фридрих Гаусс, родившийся в 1777 году, был немецким вундеркиндом. Он начал свою математическую карьеру с исследования мнимых чисел. Его докторская диссертация включала доказательство фундаментальной теоремы алгебры — что полином степени n (квадратное уравнение имеет степень 2, кубическое — 3 и т.д.) имеет n корней. Это верно только в том случае, если вы принимаете мнимые числа, как и вещественные.

За свою жизнь Гаусс исследовал множество проблем, относящихся к самым разным разделам математики над невероятным множеством тем; его исследование работы по теории кривизны стало ключевым компонентом для общей теории относительности Эйнштейна. Кроме того, целую новую структуру в математике создал метод изображения комплексных чисел Гаусса.

В 1830-е годы Гаусс понял, что каждое комплексное число — число, имеющее вещественную и мнимую часть, как 1 — 2i — может быть изображено в декартовых координатах. Горизонтальная ось представляет вещественную часть комплексного числа, а вертикальная — мнимую (рис. 32). Эта простая конструкция, названная комплексной плоскостью, раскрыла многое о том, как работают числа.

Рис. 32. Комплексная плоскость

Возьмите, например, число i. Угол между ним и осью x составляет 90 градусов (рис. 33). Что произойдет, когда вы возведете i в квадрат? Ну, по определению, i² = –1. Эта точка отстоит на 180 градусов от оси x: угол удвоился.

Рис. 33. i под углом 90 градусов

Рис. 34. Различные возможности i