Ноль: биография опасной идеи

Алгебра предложила новый способ смотреть на числа, совершенно оторванный от греческих геометрических идей. Вместо того чтобы пытаться измерить площадь под параболой, как это делали греки, ранние алгебраисты искали решения уравнений, определявших соотношения между разными числами. Например, простое уравнение 4x — 12 = 0 описывает, как неизвестная величина x соотносится с числами 4, 12 и 0. В данном случае x равен 3. Подставьте 3 вместо x в данном уравнении, и вы сразу увидите, что уравнение выполняется: 3 — это решение уравнения 4x — 12 = 0.

Начав нанизывать символы, чтобы получить уравнение, вы можете столкнуться с чем-то неожиданным. Например, возьмите то же уравнение и замените в нем знак «–» на знак «+». Вы получите совершенно невинно выглядящее уравнение 4x + 12 = 0, однако теперь его решение –3, отрицательное число.

Как и в случае с нолем, который индийские математики принимали, в то время как европейские веками отвергали, Восток принял и отрицательные числа, которые Запад пытался игнорировать. Еще в XVII веке Декарт отказывался признавать отрицательные числа корнями уравнений. Он называл их «ложными корнями». Это объясняет, почему он никогда не распространял свою систему координат на отрицательные числа. Декарт оказался жертвой своего успеха соединения алгебры с геометрией. Отрицательные числа давно были полезны алгебраистам, даже западным. Они все время возникали при решении уравнений, таких как квадратные.

Линейное уравнение вроде 4x — 12 = 0 решить чрезвычайно легко, и проблемы такого рода не занимали алгебраистов надолго. Они вскоре обратились к более трудным проблемам — квадратным уравнениям, начинавшимся с выражения x², таким как x² — 1 = 0. Квадратные уравнения сложнее линейных, кроме всего прочего, они имеют два различных корня. Например, уравнение x² — 1 = 0 имеет два решения: 1 и –1. (Подставьте –1 или 1 в уравнение вместо x, и вы увидите, что получится.) Любое из этих решений работает, поскольку, как выяснилось, выражение x² — 1 распадается на (x — 1)(x + 1), делая ясным, что если x равен +1 или –1, x² — 1 делается равным нолю.

Хотя квадратные уравнения более сложны, чем линейные, существует простой способ нахождения корней квадратного уравнения. Знаменитая формула, венчающая изучение алгебры в школе, дает значения корней уравнения ax² + bx + c = 0: x = (–b ± √(b² — 4ac) / 2a. Знак «+» дает нам один корень, а знак «–» дает другой. Квадратичная формула была известна не одно столетие; математик IX века аль-Хорезми знал, как решить почти любое квадратное уравнение, хотя, по-видимому, не рассматривал как корни отрицательные числа. Вскоре после него алгебраисты научились принимать отрицательные числа за правомерные решения уравнений. С мнимыми числами, впрочем, дело обстояло несколько иначе.

Мнимые числа никогда не появлялись в линейных уравнениях, но начали возникать в квадратных. Рассмотрим уравнение х² + 1 = 0. Ни одно число явно не удовлетворяет этому уравнению: подстановка –1; 3; –750; 235,23 или любого другого положительного или отрицательного числа не дает правильного ответа. Выражение просто не желает разлагаться. Хуже того, когда вы попытаетесь использовать формулу, вы получите два глупо выглядящих ответа: + √–1 и –√–1.

Эти выражения, похоже, не имеют смысла. Индийский математик Бхаскара писал в XII веке, что «не существует квадратного корня из отрицательного числа, потому что отрицательное число не является квадратом». Бхаскара и другие имели в виду, что когда вы возводите в квадрат положительное число, вы получаете положительное число: например, дважды два равно четырем. Когда вы возводите в квадрат отрицательное число, вы все равно получаете число положительное: –2, умноженное на –2, все равно дает 4. Когда вы возводите в квадрат ноль, вы получаете ноль. Положительные числа, отрицательные числа и ноль все дают вам неотрицательные квадраты, и эти три возможности охватывают всю числовую ось. Это значит, что не существует числа на числовой оси, которое при возведении его в квадрат давало бы отрицательное число. Квадратный корень из отрицательного числа представлялся смешной концепцией.

Декарт полагал, что эти числа еще хуже, чем отрицательные, он придумал презрительное наименование для квадратных корней из отрицательных чисел: мнимые числа. Название прижилось, и со временем символ для корня квадратного из –1 стал обозначаться как i.