Новая философская энциклопедия. Том первый

АЛГЕБРА ЛОГИКИ— одна из осн. частей математической логики, основанная на применении алгебраических методов к логике. Возникнув в сер. 19 в. в трудах Буля и развиваясь затем в работах Джевонса, Шредера, Пирса, Порец- кого и др., алгебра логики имела своим предметом классы (как объемы понятий), соотношения между классиками по объему и связанные с этим операции над ними. Позднее, в связи с появлением в 70-х гг 19 в. множеств теории, поглотившей часть этих задач, предмет алгебры логики значительно изменился. Основным ее предметом стали высказывания (суждения, предложения), рассматриваемые со стороны их логических значений (истина, ложь, бессмыслица и т. п.), и логические операции над ними. В основе обычной, т. н. Классической алгебры логики лежит абстракция высказывания как величины, имеющей одно (и только одно!) из двух значений: «истина» или «ложь» (короче: И. Л.) или могущей принимать оба эти значения (но не одновременно). В первом из этих случаев имеем индивидуальное высказывание (высказывание в узком, наиболее принятом смысле этого слова), во втором - высказывание-функцию. Примеры высказываний: «2-2=4 », «0<0 », «Сократ - человек», «0=1», «2*2=5», «х2=у»ч «г - человек», «Если x=yt то у=0», «Если х=2, то л^=4», «х равняется у или х не равняется у». Первые три высказывания имеют значение И (т. е. истины), 4-е и 5-е - значение Л (т. е. ложны), 6-е, 7-е, 8-е - высказывания-функции (если, напр., значениями буквенных переменных х и у могут быть целые числа, а переменной z - живые существа), 9-е и 10-е имеют значение И (при всех возможных значениях переменных х и у). Последние три из этих высказываний являются сложными, в отличие от предшествующих им простых. Абстракция в алгебре логики идет дальше. Все истинные высказывания отождествляются между собой, т. к. истинное высказывание не отличается от другого истинного высказывания по значению (от других сторон высказываний в алгебре логики отвлекаются). Ложные высказывания тоже отождествляются. При рассмотрении же высказываний-функций в алгебре логики обычно отвлекаются от рассмотрения зависимости их от иных переменных, кроме таких, значениями которых тоже являются высказывания, вводя для их рассмотрения буквенные переменные, которые называют переменными высказываниями. Таковыми являются буквы А, /?, С, ..., Ar Av Ау ... и т. п. (при этом выбор букв - вопрос не существа, а соглашения) при условии, что они играют роль переменных, значениями которых могут быть всевозможные индивидуальные высказывания, т. е., в силу упомянутых абстракций, «константы» И и Л. Кроме простых высказываний, обозначаемых отдельными буквами А, В... или И, Л, рассматриваются также сложные высказывания - результат соединения высказываний связками или отрицания их (соответствующего частице «не»). Сложные высказывания рассматривают как функции от входящих в них буквенных переменных А, В, С и т. д. Так появляется понятие функции алгебры логики - функции от аргументов, являющихся переменными высказываниями, т.е. принимающих значения И, Л, которая (функция) может принимать тоже лишь эти значения. Вводятся алгебраич. операции над высказываниями: конъюнкция AB (читается «А и В», другие обозначения: AB, А&В, А/\В\ другие названия: логическое умножение, булево умножение), дизъюнкция АуВ (читается «А или В»; другое обозначение: Л+Д другие названия: логическое сложение, булево сложение), импликация А^В (читается: «Если А, то В» или «А влечет В», или «А имплицирует В», или «Из А следует В»; другое обозначение: АэВ\ другое название: логическое следование), эквиваленция А~В (читается «А эквивалентно В» или «А равнозначно В», или «А, если и только если В»; другие обозначения: А=В, А<-+В, А=В\ другие названия: эквивалентность, равнозначность, равносильность), отрицание A (читается: «не А», или «Л ложно», или «неверно, что А», или «отрицание/!»; другие обозначения: -А, -А, Л'; другое название: инверсия), а также иногда и другие операции. Одной из важных сторон формализации, принимаемой в алгебре логики, является то, что знаками этих операций (т. е. по смыслу, соответствующими им связками) можно соединять любые выказывания, без ограничения, в том числе и те, которые сами являются сложными. При этом удается точно и строго описать класс всех рассматриваемых выражений алгебры логики. В данном случае он состоит из констант И и Л, переменных А и В... и всех тех выражений, которые получаются из них путем конечного числа соединений знаками «•», «V», «—>», «~» и отрицаний. Это связано с требованием, чтобы операции задавались таблично как функции и значение сложного высказывания зависело только от значений составляющих его простых высказываний. Основная суть алгебры логики как системы методов состоит в использовании преобразований высказываний на основе алгебраических законов,

73