Новая философская энциклопедия. Том первый

АЛГЕБРА ЛОГИКИ которые имеют место для операций над высказываниями. Эти законы чаще всего имеют вид тождеств, т.е. равенств, верных при вех значениях переменных. Важную роль играют тождества: 1. AB = ВА, AvB = BvA (законы коммутативности); II. (АВ)С = А(ВС), (AvB)vC=Av(BvQ (законы ассоциативности); III. A (AvB) =Л, AvAB =A (законы поглощения); IV. A(BvQ = ABvAC(закон дистрибутивности); V. А-Л = Л (закон противоречия); VI. /lv-i/1 = И (закон исключенного третьего). Эти тождества, устанавливаемые, напр., с помощью таблиц, позволяют получать другие тождества. Тождеств I - IV достаточно для того, чтобы из них по методу тождественных преобразований можно было вывести всякое (верное, конечно) тождество, левая и правая части которого - выражения алгебры логики, состоящие из переменных А, В, .., констант И, Л и знаков «•», «v», «-i» (не обязательно включая все из них). Добавление же тождеств VII А~~В = -лАчВ, А~В - ABv-тА-пВ дает возможность выводить и любые тождества, содержащие также знаки «—>», «~». Тождества V, VI, VII показывают, что константы И и Л, импликацию и эквиваленцию, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Имеет место теорема, гласящая, что всякая функция алгебры логики может быть представлена через эти три операции, т.е. записана в виде выражения, содержащего лишь знаки этих операций и буквенные переменные. Именно, любую функцию можно записать как дизъюнкцию ФЦ, Av ..., Ап) всех выражений вида Ф(др av ..., апУ(Ага}) Ц~а2)...(Лп~яп), где flj, а2,..., ап - набор из значений И, Л. Заменяя в этой дизъюнкции выражения Л,~И на Av а А~Л - на -vi, а также стирая «коэффициенты» Ф(аг а2,..., дп), равные И (по закону WA-A) и отбрасывая члены с «коэффициентами», равными Л (по законам (Л-Л=Л, JlvA = A), мы и получим (если функция не есть константа) то выражение, о котором говорится в теореме. Дизъюнктивной нормальной формой (днф) называется выражение, которое есть буква И или Л или имеет вид А^Ар ..., vAn, где каждый член А] является либо буквенной переменной, либо ее отрицанием, либо конъюнкцией таковых, причем s не обязательно отлично от 1, т.е. знаков «v» может и не быть. Днф называется совершенной, если она есть И или Л или в каждом члене содержит ровно по одному разу все имеющиеся в ней буквы (переменные) и не имеет одинаковых членов. Всякое выражение алгебры логики можно привести к днф. А всякую днф можно привести к совершенной днф, «домно- жая» члены на недостающие буквы (по закону A=ABvA^B) и ликвидируя повторения букв в членах (по закону АА-А, А-лА- Л, Л-Л=Л, JlvA=A) и повторения членов (по закону AvA=A). Приведение к совершенной днф позволяет по любым двум данным выражениям А и В решить вопрос о том, одну ли и ту же функцию они выражают, т.е. верно ли тождество А=В. Важную роль играет т. н. сокращенная днф. Последнюю можно определить как такую днф, в к-рой 1) нет повторений букв ни в одном члене, 2) нет таких пар членов А. и А? что всякий множитель из А. имеется и в А. и 3) для всех двух таких членов, из к-рых один содержит множителем некоторую букву, а другой - отрицание той же буквы (при условии, что другой буквы, для которой это имеет место, в данной паре членов нет), имеется (в этой же днф) член, равный конъюнкции остальных множителей этих двух членов. Кроме днф, употребляются также конъюнктивные нормальные формы (кнф). Это такие выражения, к-рые можно получить из днф путем замены в них знаков «v» на «•», а «¦» на «v». Преобразованием двойственности называется такое преобразование выражения алгебры логики, при котором в этом выражении знаки всех операций заменяются на знаки двойственных им операций, а константы: И на Л, Л на И; причем операция (или функция) Ф называется двойственной для операции ?, если таблица, задающая Ф, получается из таблицы, задающей ?, путем замены в ней всюду И на Л, а Л на И (имеется в виду одновременная замена и значений функции, и значений ее аргументов). Если Ф двойственная У, а ? двойственная X, то Ф=Х. Напр., конъюнкция и дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константа И (как функция) двойственна константе Л. Функция ФЦ, Av ..., Ап) двойственна функции Ч!(А]УА71..., Ап), если, и только если, верно тождество -,Ф(4, А7, ...,4,) = УЫ,, -42,..., -Ч). Совершенную кнф и сокращенную кнф можно определить как такие кнф, что двойственные им выражения есть соответственно совершенная днф и сокращенная днф. Совершенные и сокращенные днф и кнф можно использовать для решения задачи обзора всех гипотез и вех следствий данного выражения алгебры логики. Причем под гипотезой выражения А алгебры логики естественно понимать такое выражение Д что В—А тождественно истинно, а под следствием выражения А - такое выражение Д что А~В тождественно истинно. Еще один, часто употребляемый в алгебре логики шаг абстракции, состоит в отождествлении И с числом 1, а Л - с числом 0. Вводится операция А+ Д задаваемая таблицей: 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0. Она называется сложением (точнее сложением по модулю 2; другое название: разделительная дизъюнкция; читается: «А плюс В», или «А не эквивалентно В», или «Либо А, либо В»), Всякую функцию алгебры логики можно представить через умножение (т. е. конъюнкцию), сложение и константу 1 (теорема Жегал- кина). В частности, верны следующие тождества: VIII. AvB=AB+A+B,-v4=A+l IX. А-В=АВ+А+\, А~В=А+В+\. Обратные представления имеют вид X. A+B=A-nBv^AB, l=Av^A. Тождества VIII позволяют «переводить» выражения «языка» конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (КДО) на «язык» умножения, сложения и единицы (УСЕ), а тождества X - осуществлять обратный «перевод». Тождественные преобразования можно производить и на «языке» УСЕ. В основе их лежат следующие законы: XI. АВ=ВА, А+В+В+А (законы коммутативности); XII. (АВ)С=А(ВС), (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативности); XIII. А(В+С)=АВ+АС (закондистрибутивности); XIV АА=А, А+(В+В)=А XV. А1=А. Этих тождеств достаточно для того, чтобы из них можно было вывести любое (верное) тождество, обе части которого суть выражения «языка» УСЕ. А добавив к ним тождества VIII, мы сможем выводить и все тождества «языка» КДО. Выражение «языка» УСЕ называется приведенным полиномом (п. п.), если оно есть 1+1 (т. е. нуль) или имеет вид A^+A7+...+As, где каждый член Ах есть либо 1, либо буквенная переменная, либо произведение последних, причем ни в одном члене нет никаких повторений букв, никакие два члена не одинаковы (в том же смысле, что и выше), a s не обязательно больше 1 (т. е. знаков «+» может не быть). Всякое выражение алгебры логики можно привести к п. п. (теорема Жегалкина). Кроме «языков» КДО и УСЕ существуют и другие «языки», обладающие тем свойством, что через операции (и константы) этих «языков» можно представить всякую функцию алгебры логики. Такие системы называются (функционально) полными. Примеры полных систем: а) конъюнкция и отрицание, б) дизъюнкция и отрицание, в) импликация и отрицание, г) импликация и 0, д) умножение, эк- виваленция и 0, е) штрих Шеффера Л|Д ж) медиана (Л, Д С), [определение: (А, Д Q=ABvACvBC\y отрицание и 1, и) медиана, эквивалента и сложение. Иногда совершают еще один важный дальнейший шаг абстракции. Отвлекаются от табличного задания операций и оттого, что значениями буквенных переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации рассматриваемого «языка», состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значе-