Новая философская энциклопедия. Том первый

АЛГОРИТМ логики представляет собой систематическое применение методов и, главное, аппарата универсальной алгебры к символической логике. Именно на это как на тенденцию возможного дальнейшего развития алгебры логики указывал А. Кузнецов, говоря о возможности «охватить алгебраическими методами значительную часть современной математической логики». Сегодня речь уже идет об алгебраическом охвате всей символической логики, и результаты здесь весьма значительны. К примеры, если Alg(L) обозначает класс алгебр, который соотносится с некоторой логикой L (если L есть классич. логика высказываний, то Alg(L) есть класс булевых алгебр), можно формулировать теоремы, утверждающие, что L имеет определенное логическое свойство тогда и только тогда (т. т. т.), когда Alg(L) имеет определенное алгебраическое свойство. Это позволяет дать алгебраическую характеризацию таких логических свойств, как полнота, наличие теоремы дедукции, компактность, разрешимость, интерполяционность Крейга, истинность формул в модели и т. д. Так, первые два свойства принимают следующий вид: L допускает строго полную гильбер- товскую аксиоматизацию (Г,_ А т. т. т., когда Г ^ А) т. т. т., когда Alg(L) есть финитно аксиоматизируемое квази-мно- гообразие; L допускает теорему дедукции (см. Дедукции теорема) т. т. т., когда Alg(L) имеет эквационально определимые главные конгруэнции. Вообще, алгебраическая логика является хорошим инструментом не только для выяснения взаимоотношения между различными логическими системами, но и для уточнения статуса логики. Лит.: Жегалкин Я. И. Арифметизация символической логики. - «Матем. сб.», т. 35. Вып. 3-4. М., 1928; Яновская С. А. основания математики и математическая логика. - В кн.: Математика в СССР за тридцать лет (1917-1947). М.-Л., 1948; Онаже. Математическая логика и основания математики. - В кн.: Математика в СССР за сорок лет (1917-1957), т. 1. М., 1959; Сб. статей по математической логике и ее приложениям к некоторым вопросам кибернетики. М., 1958; Войшвилго Е. К. Метод упрощения форм выражения функций истинности. - «Философские науки», 1958, № 2; Кузнецов А. В. Алгоритмы как операции в алгебраических системах. - «Успехи математических наук», 1958, т. 13, в. 3; Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973; Биркгоф Г. Теория решеток. М., 1952; Владимиров Д. А. Булевы алгебры. 1969; Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М., 1972; Кудрявцев В. Б. О функциональных системах. М., 1981; Яблонский С. В., Гаврилов Г. #., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М., 1966; Фридлендер Б. #., Ревякин А. М. Булева алгебра и ее применение в задачах электроники: учебное пособие. М., 1993; Algebraic logic and the methodology of applying it.—CSU Publications, 1995; Anderka H., Nemeti L, Sain L Algebraic Logic— Handbook of philosophical logic (2 ed.), forthcoming; Blok W. /., Pigozzi D. Algebraizable logics (monograph).—Memoirs of the American Mathematical Society, 1989, № 396; Font J. M., Jansana R. A general algebraic semantics for sentential logics. В., 1996; Handbook of Boolean algebras, Ed. J. D. Monk with the coop. R. Bennet, v. I—Ш. Amst., 1989; Nemeti I, Anderka H. General algebraic logic: a perspective on «What is logic».- What is logical system? Oxf., 1994; N. Y, 1995; Rasiowa H. An algebraic approach to non-classical logics. Warsz., 1974. А. С. Карпенко АЛГОРИТМ, алгоритм (от лат. algorithmi, algorismus, no имени арабского ученого 9 в. ал-Хорезми) — точное предписание, задающее потенциально осуществимый (см. Абстракция потенциальной осуществимости) вычислительный процесс (процесс исполнения алгоритма), ведущий от исходныхданных, которые могут варьировать, к конечному результату. Овладение общим методом решения точно поставленной задачи по сути дела означает знание алгоритма. Так, умение складывать два числа означает владение алгоритмом сложения чисел (напр., сложением столбиком, которому учат в школе). Необходимо различать алгоритм и алгоритмическое предписание, имеющее внешнюю форму алгоритма, но включающее не до конца определенные шаги. Так, для перевода текста с одного естественного языка на другой нельзя дать алгоритм, поскольку придется апеллировать к таким неточным понятиям, как смысл и контекст. При попытке же применения точного алгоритма получается то, что в более откровенной форме выдают машинные переводчики и в более мягкой, но от этого не менее вредной — профессиональные переводчики в тот момент, когда выходят за рамки полностью освоенных ими понятий и действий. Поскольку процесс исполнения потенциально осуществим, в теоретическом определении алгоритма отвлекаются от реальных ограничений на ресурсы и следят лишь за тем, чтобы в любой момент вычисления требуемая информация и другие ресурсы были конечными. При создании практических алгоритмов проблемы сложности выходят на первый план. Хотя неформально математики все время занимались поиском алгоритмов, данное понятие было уточнено лишь в 30-х гг. 20 в. Первыми уточнениями были абстрактные определении частично-рекурсивных и представимых функций в формальной теории чисел, появившиеся в связи с задачами доказательств теории. В 1936 Э. Пост и А. Тьюринг независимо друг от друга предложили понятия абстрактных вычислительных машин и подметили, что любой алгоритм в интуитивном смысле слова может быть реализрован на данных машинах, несмотря на кажущуюся примитивность их элементарных действий. Так, памятью машины Тьюринга является потенциально бесконечная лента, в каждой клетке которой записан символ из заранее заданного конечного алфавита. Более того, достаточно рассматривать ленту, каждая клетка которой содержит один бит информации, т.е. либо пуста, либо содержит символ |. Процессор машины Тьюринга состоит из головки, которая в любой момент обозревает одну клетку, и программы, состоящей из конечного числа команд, обычно нумеруемых натуральными числами. Каждая команда представляет собой условное действие, зависящее от символа, записанного в клетке. Это действие имеет вид совокупности элементарных инструкций формы ab(L, R, S)i, в которой присутствует лишь одна из букв Z, R, S. Z, — приказ сдвинуться на следующем такте на одну клетку влево, R — вправо, S — остаться на месте. Элементарная инструкция означает следующее: если машина видит а, записать в клетку 6, передвинуться в соответствии с командой и перейти к исполнению команды /. Такая элементарность действий машины явилась результатом проведенного Тьюрингом методологического анализа элементарных действий человека по исполнению алгоритмов. Команды машины Поста предвосхитили систему команд современных вычислительных машин. В машине имеются регистры, содержащие натуральные числа, элементарные операции увеличения и уменьшения числа на 1 и условный переход, если число в регистре равно 0. Одновременно А, Чёрч и X. Б. Карри создали одно из самых абстрактных