Новая философская энциклопедия. Том первый

АЛГОРИТМ понятий алгоритма: ^-определимость, выразимость с помощью терма комбинаторной логики. И ранее созданные теоретические понятия, и самые элементарные, и самые абстрактные из вновь появившихся уточнений алгоритма оказались эквивалентны. Этот факт, подтвержденный в дальнейшем для всех вновь появлявшихся точных определений алгоритма, послужил основой утверждения, скромно называемого в математике тезисом Черча, хотя степень его подтвержденное™, ныне выше, чем у любого физического «закона». Содержательное понятие алгоритма эквивалентно по объему любому из имеющихся в данным момент математических уточнений этого понятия, в частности вычислимости на машине Тьюринга. Одним из последних появилось уточнение алгоритма, наиболее близкое к современным языкам программирования, - рекурсивные схемы Скотта. Это — совокупность определений вида /.(2) <= if P(jt) then t(x) else r(x), где 3? - кортеж переменных, а сами определяемые функции могут входить в выражения Г, г. Определение понимается следующим образом: проверяется предикат Р, если он истинен, вычисляется г, иначе г. Если в вычисляемом выражении встречаются определяемые функции, они вновь по тем же правилам заменяются на их определения. Хотя по объему определяемых функций существующие уточнения понятия алгоритма эквивалентны, они различаются по своей направленности. Эти различия можно подчеркнуть, рассматривая относительные алгоритмы, строящиеся на базе некоторых абстрактных структур данных и операций над ними. Относительные алгоритмы, получающиеся на базе различных определений алгоритма, могут определять разные классы функций при одних и тех же исходных структурах и элементарных операциях. Так, напр., машины Тьюринга приводят к одним из наиболее узких определений относительных алгоритмов, а комбинаторная логика и рекурсивные схемы - наоборот, к весьма широким. При модификации машин Тьюринга разделением входной и выходной ленты (со входом можно лишь читать, на выходную — лишь писать, причем после записи и чтения мы необратимо сдвигаем ленты на одну ячейку) получается важное понятие конечного автомата, моделирующее вычислительные машины без внешней памяти. Возможности конечных автоматов значительно меньше, в частности на них нельзя распознать простые числа. С понятием алгоритма тесно связано понятие порождающего процесса, или исчисления. Порождающий процесс отличается от алгоритма тем, что он принципиально не- детерминирован, его правила суть не предписания, а разрешения выполнить некоторое действие. Примером исчисления может служить логический вывод либо разбор в формальной грамматике. Рассмотрение алгоритмов показало, что нельзя ограничиваться всюду определенными функциями и соответственно нельзя проходить мимо выражений, не имеющих значения. Ошибка является компаньоном программы. Одним из первых результатов теории апгоритмов явилась теорема о том, что не любую вычислимую функцию можно продолжить до всюду определенной вычислимой функции. Практическим примером таких функций является любой интерпретатор программ, напр., BASIC. Если не ограничивать возможности программиста, то нельзя создать интерпретатор, который невозможно было бы привести в нерабочее состояние исполнением синтаксически корректной программы. Множество, характеристическое свойство которого является всюду определенным вычислимым предикатом, называется разрешимым. Множество, принадлежность элемента которому можно установить за конечное число шагов применением некоторого алгоритма, называется перечислимым. Напр., множество тавтологий классической логики высказываний разрешимо, а множество тавтологий классической логики предикатов перечислимо. Заметим, что в случае перечислимого множества алгоритмически установить можно лишь истинность, а не ложность. В классической математике имеет место следующий критерий разрешимости: множество разрешимо, если и оно, и его дополнение перечислимы. В конструктивной этот критерий эквивалентен принципу Маркова (см. Конструктивное направление). Другая характеризация перечислимого множества - множество объектов, выводимых в некотором исчислении. Необходимо отметить, что схема вычислительного процесса на компьютере конца 20 в. - написание программы на языке высокого уровня, трансляция ее в машинный язык и исполнение компьютером — имеет теоретической основой теорему об универсальном алгоритме. При любом точном определении алгоритмов каждый алгоритм может быть задан своим определением, которое является конструктивным объектом. Этот конструктивный объект может быть алгоритмически в содержательном смысле (и при этом достаточно просто и естественно) закодирован тем видом конструктивных объектов, которые обрабатываются данными алгоритмами. Напр., определение алгоритма может быть записано как слово в некотором алфавите, а если мы взяли определение алгоритма, в котором рассматриваются лишь натуральные числа, такое слово может быть естественно представлено как число в системе счисления, основанием которой является количество букв в алфавите. Тогда имеется универсальный алгоритм ?/, перерабатывающий любую пару (ф, Р), где ср — конструктивный объект, называемый записью или программой (относительно U) алгоритма Ф, в результат применения ф к Р. Универсальный алгоритм не может быть всюду определен. Примером универсального алгоритма может служить транслятор с алгоритмического языка, в частности с Паскаля, вместе с операционной системой, исполняющей получившуюся программу. Если рассматривать лишь конструктивные объекты, то алгоритм естественно отождествить с его программой относительно некоторого U. То, что такое отождествление является ограниченным, показывают проблемы современной теории и практики программирования. Одной из самых трудных возникающих в этом случае проблем является восстановление алгоритма по реализующей его конкретной программе. Если понятие алгоритма, перерабатывающего реальные конструктивные объекты, можно считать однозначно определенным, то его обобщение на объекты высших типов допускает многочисленные варианты, неэквивалентные друг другу. Обобщение теории алгоритмов на абстрактные вычисления и объекты высших порядков является одним из основных направлений исследований современной теории алгоритмов.