Новая философская энциклопедия. Том второй Е—М

Пocpeдcтвoмиcxoдныxcвязoкoпpeдeляютcяv(дизъюнкция), л (конъюнкция) и = (эквиваленция): p*q = ~(~pv~q)9 Р = Я = (Р -> Я)А (Я -> Р). Значения р v q и р л q, как и в С2 есть max и min соответственно от значений р и q. Формула А является общезначимой (законом логическим), если при любом приписывании значений из множества {1, Vi, 0} переменным, входящим в А, формула А принимает значение 1. Логика Ц оказалась весьма необычной, напр. в ней не имеют места следующие законы С2: р v ~ р — исключенного третьего закон, ~(р Л ~ р) — непротиворечия закон, (Р —KP —* Q)) -* (Р —у Q) — закон сокращения. С другой стороны, выразительные средства L3 богаче С2 поскольку в ней уже можно выразить своеобразные модальные операторы Ор (возможно, что р) и Dp (необходимо, что р): Ор = ~р —> р и Dp = ~0~р, что и было сделано А. Тарским в 1921 г. Понятно, что множество связок {-, л, v} недостаточно для определения —к С другой стороны, добавление к {-, л, v} одного из модальных операторов позволяет определить —>. В 1931 13 была аксиоматизирована учеником Лукасевича М. Вайсбергом: l.(p-*q)->((q-r)->(p->r)) 2. р -> (q-^p) 3. (~р-+ ~q) — (q—p) 4. ((р— ~р) —р) ->р. Правила вывода: modus ponens и подстановка. В общей теории многозначных логик основным способом задания является матричный. Система М= <М; D, v, л, z>, -¦> называется логической матрицей, где M — множество истинностных значений; d z> m есть множество выделенных значений; v,a, z> — двуместные, а -. — одноместная операции на М. Поскольку алгебра А = <М; v, л, z>, -i> является однотипной с алгеброй формул пропозиционального языка L, то обычным образом определяется функция оценки v (гомоморфизм) формул языка L в матрице М. Формула А называется общезначимой в М, если при всех значениях переменных в множестве M значение А принадлежит D. Логическая матрица называется характеристической для исчисления высказываний L, если общезначимы те и только те формулы, которые выводимы в L. Множество всех общезначимых формул называется матричной многозначной логикой. Здесь возникают две проблемы: 1) нахождение минимальной характеристической матрицы для L; 2) нахождение конечной аксиоматизации (если это возможно) по каждой конечной матрице М. Примерами минимальных характеристических матриц могут служить матрицы для классической двузначной логики С2 и трехзначной логики Лукасевича Ly Приведем примеры других n-значных логик (п > 3). При изучении многозначных логик понятие функции является основным и наряду с булевыми функциями (функциями двузначной логики) используется для описания дискретных устройств, компоненты которых могут находиться в некотором числе различных состояний. Произвольная функция f(x,..., xm) от любого конечного числа переменных, областью определения которых и областью значения самой функ-

586