Новая философская энциклопедия. Том второй Е—М

МОДАЛЬНАЯ ЛОГИКА- область логики, в которой изучаются логические операторы, называемые модальностями. В качестве стандартных обычно используются (алетичес- кие) модальности: «необходимость» и «возможность». Первые исследования в области модальной логики принадлежат Аристотелю, который наряду с ассерторическими силлогизмами ввел в обращение модальные силлогизмы, в которых хотя бы одна из посылок является высказыванием типа «А необходимо принадлежит В», «А возможно принадлежит В». При этом необходимое Аристотель не считал возможным. Следующий шаг в развитии модальной логики сделал ученик Аристотеля Теофраст, который стал относить модальность к высказываниям в целом, а не к отдельным понятиям. Кроме того, он принял тезис: все необходимое возможно, что открыло дорогу к определению возможности через необходимость: «возможно А» эквивалентно «не необходимо не-А». В средние века произошло разделение модальностей на модальности de dicto (о речи), относящиеся к высказыванию в целом, и модальности de re (о вещи), относящиеся к свойствам. Современные исследования модальной логики связаны во многом с именем К, Льюиса, построившего исчисления SI - S6. Характерным примером могут служить его исчисления S4 и S5 (в трактовке К. Гёделя). Эти исчисления строятся как расширения классической логики высказываний и классической логики предикатов. Язык логики пополняется модальным оператором d (необходимо), действующим на предложения языка. Оператор возможности 0 вводится как сокращение для —I и —I. Определение формулы пополняется пунктом: если - А формула, то а А — тоже формула. Аксиоматику пропозиционального модального исчисления получаем, добавляя к аксиомным схемам и правилам вывода классической логики высказываний модальную схему аксиом °(Л=> B)z)(nAz>nB)H правило вывода: «если доказуемо A z> В, то доказуемо dAz> dB» (правило С). Это пропозициональное модальное исчисление С2. Заменив правило С более сильным правилом вывода: «доказуемо А —>доказуемо dA» (правило Геделя) и добавив к С2 одну из аксиомных схем d A z> A, oAz>ddA,-idAz> o-ioA, получаем пропозициональные модальные исчисления Т, S4 и S5 соответственно. С этими исчислениями не возникает никаких принципиальных проблем. Совершенно иная ситуация возникает, если эти «модальные приставки» добавлять к классической логике предикатов, поскольку в предикатных модальных контекстах может нарушаться закон подстановочности тождественных VxVy(x = у з (F(x) z> F{y) • К примеру (пример Куайна), утверждение «необходимо, что 9 больше 7» и его экзистенциальное обобщение «3х такой, что необходимо, что х больше 7» верно, если х есть 9 и 9 есть натуральное число, но неверно, если х есть 9 и 9 есть число планет. Согласно Куайну, вхождение переменной х в открытую формулу «необходимо, что х больше 7» референциально неясно, поскольку нельзя гарантировать, что, будучи связанной, переменная х именует в точности один объект. Поэтому модальная логика предикатов требует некоторого изменения принципов, на которых построена немодальная стандартная теория квантификации. В частности, экзистенциальное обобщение в модальных контекстах должно основываться на следующем правиле: 3 -кван- тификация открытого предложения справедлива, если, и только если, имеется замкнутый терм, подстановка которого на место переменной квантификации приводит к истинному предложению. Соответственно подстановочность тождественного имеет место, если, и только если, взаимозаменяемые термины являются синонимами. Принятие такого принципа в теории квантификации ведет к т. н. подстановочной интерпретации кванторов, в отличие от стандартной, или объективной, их интерпретации. В стандартной интерпретации значениями связанных переменных являются объекты универсума, в подстановочной — термины языка. Подстановочная теория ничего не говорит о существовании или несуществовании объектов; она исследует лишь определенные отношения между утверждениями языка. Все истины теорий подстановочного типа являются в общем случае лингвистическими, и их использование для описания конкретных ситуаций требует дополнительных допущений о характере универсума (множестве объектов, допустимых в данной ситуации). Еще один способ обоснования квантификации в модальных контекстах основан на допущении, согласно которому значениями связанных переменных в модальных контекстах являются не объекты и не термины, а смыслы, т. е. определенные способы понимания объектов. При этом одному и тому же объекту могут соответствовать различные смыслы (подробнее см.: Именования теория, Экстенсиональность). С учетом этих разъяснений становится понятным, что, хотя чисто технически нет никаких препятствий к построению предикатных модальных исчислений С2, Т, S4, S5 посредством указанных выше «модальных приставок», в этих исчислениях (за исключением S5) нельзя гарантировать безусловного выполнения принципа подстановочности тождественного. Поэтому поступают следующим образом: помимо предикатных исчислений С2, Т, S4 введением дополнительной аксиомной схемы, известной как формула Баркан: V хоА(х) з d V хА(х) (в S5 эта формула является теоремой). Принцип подстановочности тождественного строго выполняется в ВС2, ВТ, BS4, S5. В модальных предикатных исчислениях с равенством («модальная приставка» присоединяется в этом случае к классическому исчислению предикатов с равенством) для обеспечения подстановочности тождественного должно выполняться условие V х V у(х=у z> u(x=y)). Содержательные трудности возникают и в связи с самой «модальной приставкой». Исчисления с правилом Геделя и аксиомной схемой аАз А называются нормальными, т. е. соответствующими содержательным стандартам логической необходимости: всякая теорема логически необходима (логически истинна) и всякое необходимо истинное утверждение истинно. Все остальные исчисления не считаются нормальными, и для них отдельно должны быть указаны смыслы, в каких они используют операторы необходимости и возможности. Вот некоторые возможные смыслы этих операторов, отличные от указанного выше «алетического» смысла d и 0.1 ) а означает доказуемость, а 0 - непротиворечивость (интуиционистские модальности, не исключающие, впрочем, существования специальной логики доказуемости); 2) d означает обязательность в смысле необходимости соблюдения норм, а 0 - позволение, или отсутствие запрещения (деонтические модальности); 3) d означает приемлемость эмпирической гипотезы, а 0 - ее неот- вергаемость (индуктивные модальности); 4) d означает «везде» или «всегда», а 0 - «кое-где» или «иногда» (пространственно- временные модальности); 5) d означает «знаю, что», а 0 - «не знаю не» (эпистемические модальности). Существенно, что этот список потенциально неограничен (т. е. он ограничен только нашей изобретательностью, а не существом дела).