Новая философская энциклопедия. Том второй Е—М

моделей теория Синтаксические характеристики операторов d и 0 во всех этих случаях должны быть различными. Напр., для деонтических модальностей не проходит аксиомная схема dAz> A, поскольку нормы могут быть нарушены. Вместо нее должна использоваться аксиомная схема oAz> —id—iA (обязательная норма допустима). Для всех этих и многих других модальных исчислений остро встала проблема их формальной интерпретации: построение адекватной им формальной семантики, в которой: 1) каждая формула исчисления является либо истинной, либо ложной; 2) каждая доказуемая формула истинна (непротиворечивость исчисления); 3) каждая истинная формула доказуема (полнота исчисления); 4) установлена тесная связь с содержательной семантикой. Первый шаг был сделан Р. Карнапом. Используя идеи Лейбница, он строит семантику на основе множества описаний состояния (положений дел, характеризуемыхсредствамиязы- ка, или «возможных миров»). Высказывание «А возможно» семантически характеризуется им как «А истинно хотя бы в одном описании состояния (возможном мире)» и высказывание «А необходимо» как «А истинно во всех описаниях состояния (возможных мирах)». Следующий шаг связан с именем С Крипке. Он отказался от обязательного представления возможного мира в виде описания состояния, зависящего от структуры логического языка. Такое представление сохраняется только в канонических моделях (максимально непротиворечивых множествах), тогда как в общем случае возможный мир — это просто элемент произвольного непустого множества (возможных миров). При этомдопускаетсявозможностьсуществованияизолированных элементов такого множества (элементов, не связанных ни с какими другими элементами множества). Для формального выражения этой идеи Крипке вводит отношение достижимости — некоторое бинарное отношение R, определимое на множестве возможных миров. Пусть а и b — возможные миры. Тогда, если имеет место a R Ь, то эти миры связаны: из мира а можно достичь мира Ь. В противном случае это оказывается невозможным. Формальные семантики для различных исчислений различаются теперь только свойствами отношения R. Так, чтобы получить адекватную семантику для S4, достаточно предположить, что отношение R рефлексивно и транзитивно. Если дополнительно предположить симметричность этого отношения, то получим адекватную семантику для S5. В этом последнем случае каждый возможный мир достижим из каждого, и надобность в специальном отношении достижимости отпадает. Предложенная Карнапом формальная модальная семантика соответствует этому частному случаю и годится, следовательно, только для S5. Далее, для каждой предикатной модели каждый мир w из множества возможных миров W, на котором определено бинарное отношение достижимости R, характеризуется непустым множеством Dw индивидов, существующих в этом мире. Существует также выделенный элемент w*, называемый действительным миром. Для разных w множества Dw могут быть разными. С этой точки зрения понятно, почему принцип подстановоч- ности тождественного и экзистенциальное обобщение требуют ограничений в модальных контекстах. Если индивидные константы или переменные находятся в сфере действия модального оператора, то они могут обозначать один и тот же индивид в действительном (выделенном) мире, но различные индивиды в других возможных мирах (а в каких-то мирах ничего не обозначать). Поэтому, чтобы указанные принципы были применимыми в модальных контекстах, каждый входящий в этот контекст индивидный символ должен обозначать один и тот же объект во всех мирах, связанных с данным миром отношением R. Быстрый рост числа модальных исчислений в 70—80-е гг. поставил вопрос о создании более общей и более богатой по своим возможностям формальной семантики, чем семантика Крипке. Один из путей создания такой семантики связан с именем 3. Стахняка. Его основная идея элегантна и проста, хотя ее реализация технически может быть очень сложной. Семантика Крипке является теоретико-множественной. Каждый «возможный мир» есть просто лишенный внутренней структурыэлементнекоторогомножества,которому(элемен- ту) в предикатных интерпретациях приписано еще одно множество — множество индивидов, допустимых в этом мире. Вся ее изобразительная сила определяется поэтому только свойствами отношения R. Если удастся наделить и сами элементы внутренней структурой, то изобразительная мощь формальной семантики резко возрастет. Для реализации этой идеи Стахняк использовал сочетание алгебраических и теоретико-множественных подходов. На исходном множестве, рассматриваемом в качестве алгебраического объекта, можно построить вторичное множество алгебраических структур (напр., ультрафильтров). На новом множестве процесс можно повторить, получая множество элементов с более богатой структурой, а затем построить на нем отношение достижимости R. Тем самым мы получаем семантику возможных миров, в которой в отличие от семантики Крипке элементы базисного множества могут быть наделены сколь угодно сложной внутренней структурой. Такого рода формальная семантика обладает огромной изобразительной силой. Ее можно использовать не только для интерпретации существующих модальных исчислений, но и для построения новых модальных исчислений, обладающих наперед заданными желательными семантическими свойствами. Фактически впервые появилась возможность того, что современная формальнаялогикаможетбытьиспользованане тол ько и даже не столько в качестве преимущественного средства для построения оснований математики, как это повелось со времен Д. Гильберта, сколько в качестве метода построения оснований любого вида научного знания, в том числе философского. Лит.: Gabbay D. M. Investigations in Modal and Tense Logics with applications to problems in Philosophy and linguistics. N. Y., 1976; Леммон Е. Алгебраическая семантика для модальных логик I. IL— В кн.: Семантика модальных и интенсиональных логик. М., 1981; Костюк В. Н. Элементы модальной логики. К., 1976; Крипке С. Семантический анализ модальной логики.— В кн.: Фейс Р. Модальная логика. М, 1974; Stachniak Z Introduction to model theory for Lesniewski's Ontology. Wroclaw, 1981; Hughes G E. and Cresswell M. J. A Compation to Modal Logic. Methuen — London, 1984; Van Benthem J. A. F. K. Modal and Classical Logic. Napoli, 1983; Zeman J. J. Modal Logic. The Lewis- Modal Systems. Oxf., 1973; Segerberg К. An essay in classical modal logic — «Filosofiska Studier», Uppsala, 1971, N 13; Chagrov A. V., Zakhar- yaschev M. Modal Logic. Oxf, 1997. В. Н. Костюк