Новые рассказы Рассеянного Магистра

Это была моя первая и, к сожалению, последняя встреча с Васильевым. Она заставила меня ещё сильнее влюбиться в числа. Но, вопреки советам профессора, работы над теоремой Ферма я не оставил и продолжал искать свою синюю птицу.

— Какую птицу? — переспросил Нулик.

— Синюю. Из сказки Метерлинка.

— В первый раз слышу.

— Жаль. Это сказка о том, как дети искали синюю птицу — своё неуловимое счастье. Так вот, через три года в погоне за своей синей птицей я нашёл ещё одно, на мой взгляд, абсолютно безошибочное «доказательство» теоремы Ферма и пошёл с ним к профессору Московского университета Александру Яковлевичу Хинчину.

Хинчин, несмотря на молодость, считался крупным специалистом по теории чисел. К тому же он был автором великолепной книжки о теореме Ферма. Но знакомство с ним было совсем непохоже на знакомство с Васильевым. Молодой Хинчин был, что-называется, профессор с головы до пят — подтянутый, гладко выбритый, холодновато-корректный. Жил он в добротном московском доме, в добротной, хорошо обставленной квартире. В его большом светлом кабинете не было ничего лишнего. Там царили строгий порядок и тишина.

Александр Яковлевич предложил мне сесть и очень бегло (мне-то даже подумалось, быстрее, чем следует) просмотрел мою рукопись. И в этой быстроте тоже был какой-то особенный шик! Так, вероятно, пробегает дирижёр партитуру симфонии пусть в ней записаны партии многих инструментов — ему всё понятно с первого взгляда!

Через минуту Хинчин отложил рукопись, взглянул на меня и сказал: «Доказательство ваше совершенно правильное».

Ура! — завопил ни с того ни с сего президент.

— Вот и я тоже тогда чуть было не закричал «ура», — улыбнулся я, — да, к счастью, вовремя удержался. «Доказательство правильное, — повторил Хинчин, — но доказали вы не теорему Ферма, а нечто совершенно другое, давно, впрочем, известное».

Радость мою как ветром сдуло. Я был смущён и подавлен гораздо больше, чем тогда, у профессора Васильева. Однако Александр Яковлевич тут же добавил: «И всё же в вашей работе есть и нечто положительное. По-моему, вы избрали правильный путь. Есть основание предполагать, что сам Ферма использовал для доказательства так называемый метод спуска, понижения степени. У вас тоже есть нечто подобное. Что ж, — добавил он, вставая и давая этим понять, что приём окончен, — ищите дальше. Всего хорошего».

Я не знал, смеяться мне или плакать.

— Конечно, смеяться, — убеждённо сказал Сева. — Ведь вы приблизились к ходу мыслей самого Ферма!

— Ну, это уж ты хватил лишку, — возразил я. — В общем, особенно ликовать я не стал. Но и огорчаться не думал. Правда, биться над теоремой Ферма я далее не собирался, но занятий числами не оставил. Наоборот, увлёкся ими ещё больше. При этом у меня не было никакой цели. Я просто играл числами и подмечал всевозможные любопытные зависимости между ними. Но мы уже знаем, что игра может обернуться серьёзными находками. Многие замечательные открытия в самых различных областях знаний ведут начало от игры.

— Конечно же, вам посчастливилось открыть что-то интересное! — с надеждой воскликнул Олег.

— Да, кое-что раскопал. Вскоре после похода к Хинчину, задумавшись над методом спуска, то бишь понижения степени, я заметил прелюбопытную штуку. Оказывается, любую степень целого числа можно представить в виде суммы последовательных нечётных чисел. И количество слагаемых при этом равно основанию степени. Вот, например: 4³ можно представить как сумму четырёх последовательных нечётных чисел: 4³ = 13 + 15 + 17 + 19. Иначе говоря — 64. Другой пример 5⁴ = 121 + 123 + 125 + 127 + 129. Итого 625.

Сева скептически покачал головой.

— Да, а как узнать, с какого нечётного числа начинать?

— Это я тоже обнаружил. Надо основание степени возвести в степень на единицу меньшую, затем вычесть отсюда основание и, наконец, прибавить единицу. Вот, скажем, чтобы возвести 5 в четвёртую степень, надо сперва возвести 5 в третью степень (то есть понизить четвёртую степень на единицу). 5³ — это будет 125. Теперь вычтем отсюда основание, то есть 5, получим 120. Прибавим к 120 единицу, получим 121. Вот мы и нашли первое число, с которого надо начинать разложение степени.

— Я это правило знаю, — сказал Олег, — но только для квадратов чисел. Там всегда надо начинать с единицы. 5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

— Ну конечно, — подтвердила Таня, — ведь 5–5 + 1 = 1. Кроме того, это правило вытекает из формулы суммы арифметической прогрессии.

— Совершенно верно. И мне довелось обобщить это правило для любой степени, — сказал я. — Особенно любопытно получается разложение третьих степеней. Вот смотрите:

и так далее…

— Да ведь отсюда легко получить знаменитое восточное равенство! — обрадовался Олег:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ +… = (1 + 2 + 3 + 4 +…)².

Не скрою, мне было очень приятно, что ребята сразу же с увлечением принялись блуждать в увлекательном лабиринте чисел