Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Теперь мы видим, что амплитуда вероятности в конечном счете представляет собой аналог не настоящей вероятности, а скорее «комплексного квадратного корня» из вероятности. Что происходит с ней, когда эффекты квантового уровня увеличиваются настолько, что достигают классического уровня? Напомним, что, манипулируя с вероятностями и амплитудами, мы иногда сталкивались с необходимостью производить их умножение и сложение. Прежде всего заметим, что операция умноженияне сопряжена с какими-либо проблемами при переходе от квантовых правил к классическим. Происходит это вследствие замечательного математического факта: квадрат модуля произведения двух комплексных чисел равен произведению квадратов модулей каждого из чисел:

| z| ²= | z| ² | | ².

(Это свойство непосредственно следует из геометрического смысла произведения двух комплексных чисел, приведенного в главе 3, но на языке действительной и мнимой частей z= х+ iу, = u+ iv; это — прекрасное маленькое чудо. Проверьте сами!)

Из этого факта следует, что если в эксперименте с двумя щелями для частицы существует только один маршрут (открыта только одна щель, например t), то рассуждения можно строить «классически», и вероятности получатся одними и теми же, независимо от того, наблюдаем ли мы за прохождением частицы в промежуточных точках ее пути (в щели t) [142]. А квадраты модулей можно будет взять на любой стадии наших вычислений, например,

| A( s, t)| ²х | A( t, p)| ² = | A( s, t) х A( t, p)| ².

Ответ — результирующая вероятность — получится одним и тем же.

Но если перед частицей открыт более чем один маршрут (например, если открыты обе щели), то необходимо образовывать сумму, и здесь-то и начинают обнаруживаться характерные особенности квантовой механики. Когда мы образуем квадрат модуля суммы + zдвух комплексных чисел и z, мы обычно не получаемтолько лишь сумму квадратов модулей этих чисел; существует дополнительный «поправочный член»:

| + z| ²= | | ²+ | z| ²+ 2| || z| cos,

где — угол, образуемый направлениями на точки zи из начала координат на плоскости Аргана (рис. 6.9).

(Напомним, что косинус угла есть отношение «прилежащий к углу катет/гипотенуза» для прямоугольного треугольника. Пытливый читатель, незнакомый с этой формулой, может попытаться самостоятельно вывести ее, используя геометрию, изложенную в главе 3. В сущности эта формула есть не что иное, как слегка «замаскированное» хорошо известное «правило косинуса»!) Именно поправочный член 2| || z| cosописывает квантовую интерференциюмежду квантовомеханическими альтернативами. Значение cosзаключено между -1и 1. При = 0° мы имеем cos= 1, и две альтернативы усиливают друг друга так, что полная вероятность оказывается больше суммы отдельных вероятностей. При = 180° мы имеем cos= - 1, и две альтернативы стремятся погасить друг друга, в результате чего полная вероятность оказывается меньше суммы отдельных вероятностей (деструктивная интерференция). При  = 90° мы имеем cos= 0, и получается ситуация, промежуточная между двумя упомянутыми выше: две вероятности просто суммируются. Для больших или сложных систем поправочные члены обычно «усредняются», так как «среднее» значение cosравно нулю, и мы получаем обычные правила классической вероятности! Но на квантовом уровне эти члены описывают важные интерференционные эффекты.

Рассмотрим эксперимент с двумя щелями, когда обе щели открыты. Амплитуда того, что фотон достигает точки р, равна сумме + z, где

= A( s, t) x A( t, p) и z= A( s, b) x A( b, p).

В самых яркихточках экрана имеем: = z(так что cos= 1), откуда

| + z| ²= | 2| ²= 4 | | ²,

что в 4 раза больше вероятности | | ², когда открыта только верхняя щель, и приводит к увеличению интенсивности потока большого числа фотонов в 4 раза, в полном согласии с экспериментом. В темных точках экрана имеем = — z(так что cos= - 1), откуда

| + z| ²= | — | ²= 0,

т. е. интенсивность равна нулю(деструктивная интерференция!) также в соответствии с наблюдением. Точно посередине между этими точками мы имеем: = izили = — iz(так что cos= 0), откуда

| + z| ²— | ± i| ²= | | ²+ | | ²= 2| | ²,

что дает вдвое большуюинтенсивность освещенности по сравнению с освещенностью только при одной щели (как в случае с классическими частицами). В конце следующего раздела мы узнаем, как рассчитывать, где именно расположены яркие, темные точки и точки с промежуточной интенсивностью освещенности.