Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Воспользуемся теперь разновидностью остроумного и мощного приема, так называемого диагонального процессаГеорга Кантора. (Мы познакомимся с оригинальным вариантом этого метода в следующей главе.) Рассмотрим значения в ячейках, расположенных на главной диагонали таблицы — диагональные элементы (матрицы), — выделенные жирнымшрифтом:

Эти элементы образуют некоторую последовательность 0,0,1,2,1,0, 3,7,1…., к каждому члену которой мы теперь прибавим единицу:

1, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 8, 2…

Это, безусловно, механическая процедура, и, поскольку наша таблица была получена путем вычислений, мы получим новую вычислимую последовательность 1 + Q( n; m), т. е.

1 + T_n( n) х H( n; n)

(с учетом того, что для диагональных элементов n= m). Но наша таблица содержит в себе всевычислимые последовательности, поэтому она должна содержать также и новую последовательность. Однако это невозможно! Ведь наша новая последовательность отличается от первого ряда первым элементом, от второго — вторым, от третьего — третьим, и т. д. Налицо явное противоречие, которое и устанавливает справедливость доказываемого нами утверждения о том, что машина Тьюринга  Hна самом деле не существует! Иными словами, не существует универсального алгоритма для решения вопроса об остановке произвольной машины Тьюринга.

Можно построить доказательство и по-другому. Для этого заметим, что из предположения о существовании  Hследует и существование машины Тьюринга с номером k, реализующей алгоритм (диагональный процесс!) 1 + Q( n; n), т. е. можно записать

1 + T_n( n) х H( n; n) = T_k( n).

Но если мы подставим в это выражение n= k, то получится

1 + T _k( k) x H( k; k) = T _k( n).

Мы приходим к противоречию, потому что если  T _k( k) останавливается, то мы имеем невыполнимое равенство

1 + T _k( k) = T _k( k)

(поскольку Н( k; k) = 1), тогда как в случае безостановочного действия  T _k( k) (т. е. когда Н( k; k) = 0) мы получаем не менее абсурдное соотношение

1 + 0 = .

Вопрос о том, останавливается ли конкретная машина Тьюринга или нет, представляет собой совершенно четко определенную математическую задачу (а ранее мы уже видели, что, наоборот, различные важные математические задачи могут быть сведены к вопросу об остановке машины Тьюринга). Таким образом, доказав, что не существует алгоритма для решения вопроса об остановке машины, Тьюринг показал (также как и Черч, который использовал свой собственный и весьма отличающийся подход), что не может быть и общего алгоритма для решения математических задач. Проблема разрешимости Гильберта не имеет решения!

Это не означает, что в каждом отдельномслучае мы не в состоянии выяснить справедливость (или, наоборот, несостоятельность) некоторого конкретного математического утверждения или определить, остановится ли данная машина Тьюринга. С помощью интуиции, искусных технических приемов или же опираясь просто на здравый смысл, мы, вероятно, могли бы получить ответ на такие вопросы в частных случаях. (Так, например, если перечень инструкций некоторой машины Тьюринга не включает ни однойкоманды STOPили же, наоборот, состоит толькоиз таких команд, то одного здравого смысла достаточно для решения вопроса о ее остановке!) Но не существует ни одного алгоритма, который позволял бы решать любуюматематическую задачу или давал ответ на вопрос об остановке любоймашины Тьюринга при любых вводимых в нее числах.

Может показаться, что мы пришли к выводу о существовании по крайней мере несколькихнеразрешимых математических вопросов. Однако это совсем не так! Мы непоказали, что существует какая-то необычайно громоздкая машина Тьюринга, для которой (в некотором абсолютном смысле) невозможнорешить вопрос об остановке при ее работе с каким-то особенно громоздким числом — в действительности, все как раз наоборот, как мы сможем скоро убедиться. Мы вообще ничего не говорили о неразрешимости какой-то отдельнойзадачи, а только лишь об алгоритмическойнеразрешимости классовзадач. В каждом конкретном случае ответ будет либо «да», либо «нет», поэтому алгоритм для решения частной задачи, конечно, существует, а именно алгоритм, который при применении к этой задаче просто дает ответ «да» или, может быть, «нет»! Трудность в данном случае состоит в том, что мы не знаем, какойименно из имеющихся алгоритмов применять в том или ином случае. Это вопрос об установлении математической истинности отдельного утверждения, но не об общем решении проблемы для целого класса утверждений. Очень важно сознавать, что сами по себе алгоритмы не доказывают математическую истину. Решение о правомерности использования каждого алгоритма должно всегда приходить извне.

Как превзойти алгоритм