Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

NP- задачивстречаются во многих областях, причем как в математике, так и в повседневной практике. Я приведу здесь только один простой математический пример: задачу нахождения так называемого « гамильтонова цикла» на графе (довольно устрашающее название для чрезвычайно простой идеи). Под графом подразумевается конечный набор точек, или «вершин», некоторое количество пар которых соединено между собой линиями — «сторонами» графа. (Нас не интересуют сейчас геометрические или линейные свойства, а только то, какие вершины соединяются друг с другом. Поэтому не имеет значения, лежат ли все вершины в одной плоскости — если нас не волнует возможность пересечения двух сторон — или же в трехмерном пространстве.) Гамильтонов цикл — это замкнутый маршрут (петля), состоящий только из сторон графа и проходящий не более одного раза через любую из вершин. Пример графа с изображенным на нем гамильтоновым циклом показан на рис. 4.14. Задача нахождения гамильтонова цикла заключается в том, чтобы определить, существует ли гамильтонов цикл на рассматриваемом графе, и если существует, то явным образом указать его.

Рис. 4.14.Граф с гамильтоновым циклом (изображен зачерненными линиями). Существует только один гамильтонов цикл, как читатель может сам убедиться

Есть разные способы представления графов на языке двоичных чисел. Неважно, какой из этих способов применяется в том или ином случае. Один из методов заключается в том, чтобы пронумеровать вершины 1, 2, 3, 4, 5…, а потом перечислить пары в некотором подходящем фиксированном порядке:

(1,2), (1,3), (2,3), (1,4), (2,4), (3,4), (1,5), (2, 5), (3,5), (4, 5), (1,6)….

Затем мы на место каждой пары помещаем «1», если пара соединена стороной графа, и «О» — в противном случае. Тогда двоичная последовательность

10010110110…

будет означать, что вершина 1 соединяется с вершинами 2, 4 и 5; вершина 3 — с вершинами 4 и 5; вершина 4 — с вершиной 5, и т. д. (в соответствии с рис. 4.14). Гамильтонов цикл может быть задан по желанию просто как подмножество этих сторон, которое было бы описано такой же двоичной последовательностью, как и ранее, но со значительно большим числом нулей. Процедура проверки в этом случае проходит несравненно быстрее, чем процесс непосредственного построения гамильтонова цикла. Все, что нужно выяснить, — это является ли построенный цикл действительно циклом, т. е. принадлежат ли его стороны исходному графу, и что каждая вершина графа используется ровно два раза — по одному разу на концах каждой из входящих в нее двух сторон.

Такую процедуру проверки можно легко завершить за «полиномиальное» время.

На самом деле эта задача относится не только к NP, но к так называемой категории NP- полныхзадач. Это означает, что любая другая NP- задачаможет быть сведена к данной за «полиномиальное» время — так что, если бы кому-нибудь удалось отыскать алгоритм для решения задачи нахождения гамильтонова цикла за «полиномиальное» время (т. е. показать, что задача гамильтонова цикла действительно принадлежит Р), то это будет означать, что все NP- задачибудут лежать в Р! Это имело бы очень важные следствия. В широком смысле, задачи из Рсчитаются « податливыми» (иначе говоря, «решаемыми за приемлемое время») для относительно больших n, на быстром современном компьютере; тогда как задачи из NP, но не лежащие в Р, считаются « неподатливыми» (т. е. решаемыми в принципе, но «нерешаемыми практически») для тех же n— независимо от того, на какое разумно предсказуемое увеличение быстродействия компьютеров рассчитывать в будущем. (Реальное время, которое бы потребовалось для достаточно больших nпри решении «неподатливой» задачи, легко превосходит возраст вселенной, что никак не предполагает практическое использование такого подхода!) Любой «умный» алгоритм для решения задачи о нахождении гамильтонова цикла за «полиномиальное» время мог бы быть превращен в алгоритм для решения всехпрочих NP- задач, и тоже за «полиномиальное» время!