Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Квантовое состояние одной (бесспиновой) частицы определяется комплексным числом (амплитудой) для каждого возможного положения, которое может занимать частица. Частица обладает амплитудой, чтобы находиться в точке А, и амплитудой, чтобы находиться в точке В, и амплитудой, чтобы находиться в точке С, и т. д. Подумаем теперь о двух частицах. Первая частица может находиться в точке А, а вторая, например, — в точке В. Возможность такого события должна была бы иметь некоторую амплитуду. С другой стороны, первая частица могла бы находиться в точке В, а вторая — в точке А, и такое расположение частиц также должно иметь некоторую амплитуду; возможно, что первая частица могла бы находиться в точке В, а вторая — в точке С или, может быть, обе частицы могли бы находиться в точке А. Каждый из этих возможных вариантов должен иметь некоторую амплитуду. Следовательно, волновая функция должна быть не просто парой функций положения (т. е. парой полей), а одной функцией двух положений!

Чтобы получить некоторое представление о том, насколько сложнее задать функцию двух положений по сравнению с двумя функциями положения, представим себе ситуацию, в которой существует лишь конечный набор допустимых положений. Предположим, что разрешены ровно 10 положений, заданных (ортонормированными) состояниями

Тогда состояние | φ) одной частицы было бы какой-то линейной комбинацией

где различные коэффициенты z₀, z₁, z ₂,….,  z₉ дают, соответственно, амплитуды того, что частица находится попеременно в каждой из 10 точек. Десять комплексных чисел задают состояние одной частицы. В случае двухчастичного состояния нам понадобилось бы по одной амплитуде для каждой пары положений. Всего существуют

10²= 100

различных (упорядоченных) пар положений, поэтому нам потребовались бы 100 комплексных чисел! А если бы у нас были только два одночастичных состояния (т. е. «две функции положения», а не «одна функция двух положений», как в приведенном выше примере), то нам понадобилось бы всего лишь 20 комплексных чисел.

Пронумеруем эти 100 комплексных чисел следующим образом

а соответствующие (ортонормированные) базисные векторы [162]

Тогда общее двухчастичное состояние можно было бы представить в виде

Такое обозначение состояний в виде «произведения» имеет следующий смысл: если | α) — возможное состояние первой частицы (не обязательно состояние с определенным положением) и если | β) — возможное состояние второй частицы, то состояние, в котором первая частица находится в состоянии | α), а вторая — в состоянии | β), можно представить в виде

| α) | β).

«Произведения» можно также брать между любыми другими парами квантовых состояний, а не обязательно между парами одночастичных состояний. Таким образом, мы всегда интерпретируем состояние-произведение | α) | β) (не обязательно состояний отдельных частиц) как конъюнкцию

«первая система находится в состоянии | α)» и

«вторая система находится в состоянии | β)»

(Аналогичная интерпретация справедлива и относительно | α) | β) | γ) и т. д.; см. далее.) Однако общее двухчастичное состояние в действительности не имеет вид «произведения». Например, оно может быть представимо в виде

| α)| β) + | ρ)| σ),

где | ρ) — еще одно возможное состояние первой системы,

а | σ) — еще одно возможное состояние второй системы. Это состояние представляет собой линейную суперпозицию, а именно: суперпозицию первой конъюнкции состояний | α) и | β) плюс вторая конъюнкция состояний | ρ) и | σ), и не может быть представлено в виде простого произведения (т. е. как конъюнкция двух состояний). Еще один пример — состояние | α)| β) — | ρ)| σ) описывало бы другую такую линейную суперпозицию. Заметим, что квантовая механика требует проведения четкого различия между смыслом слов «плюс» и «и». И в обращении с этими словами нам следует быть более осторожными!

В случае трех частиц ситуация во многом аналогична. Чтобы задать общее трехчастичное состояние в приведенном выше примере, где имеются только 10 возможных положений, нам потребовалось бы теперь 1000 комплексных чисел! Полный базис для трехчастичных состояний состоял бы из следующих элементов:

| 0)| 0)| 0), | 0)| 0)| 1), | 0)| 0)| 2), …, | 9)| 9)| 9).

Частные трехчастичные состояния имели бы вид произведений трех сомножителей

| α)| β)| γ)

(где | α), | β) и | γ) — не обязательно состояния с определенным положением), но для общего трехчастичного состояния нам понадобилось бы построить суперпозицию большого числа состояний типа этих простых «произведений». Соответствующая схема получения общего состояния для четырех и более частиц должна быть очевидна.