Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

До сих пор мы рассматривали случай различимых частиц, когда все частицы: «первая», «вторая», «третья» и т. д. принадлежат к разным типам. Одна из поразительных особенностей квантовой механики заключается в том, что в случае «тождественных» частиц правила коренным образом меняются. Действительно, правила становятся такими, что в самом прямом смысле частицы определенного типа должны быть не просто почти тождественными, а в точности тождественными. Это относится ко всем электронам и ко всем фотонам. Но оказывается, что все электроны тождественны друг другу совсем не так, как тождественны все фотоны! Различие заключается в том, что электроны принадлежат к так называемым фермионам, тогда как фотоны принадлежат к бозонам. Эти два класса частиц надлежит рассматривать весьма различным образом.

Прежде чем я окончательно запутаю читателя этими словесными несуразностями, позвольте мне попытаться объяснить, как действительно следует характеризовать фермионные и бозонные состояния. Правило состоит в следующем. Если | ψ) — состояние, содержащее некоторое число фермионов определенного типа, то при перестановке любых двух фермионов | ψ) должно перейти в — | ψ):

| ψ) → — | ψ)

Если состояние | ψ) содержит некоторое число бозонов определенного типа, то при перестановке любых двух бозонов | ψ) должно перейти в | ψ):

| ψ) → | ψ)

Отсюда следует, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Действительно, если бы какие-нибудь два фермиона находились в одном и том же состоянии, то их перестановка вообще никак не сказывалась бы на полном состоянии системы, следовательно должно было бы выполняться — | ψ)=| ψ) т. е. | ψ)= 0, что не допустимо для квантового состояния. Это свойство известно как принцип запрета Паули [163], а его следствия для структуры вещества имеют фундаментальный характер. Действительно, все главные составляющие вещества: электроны, протоны и нейтроны принадлежат к числу фермионов. Не будь принципа запрета, вещество бы просто сколлапсировало!

Вернемся к нашему примеру с 10 положениями и предположим теперь, что у нас есть состояние, состоящее из двух тождественных фермионов. Состояние | 0)| 0) исключается в силу принципа Паули (при перестановке первого множителя со вторым оно переходит в себя вместо того, чтобы переходить в себя со знаком минус). Кроме того, состояние | 0)| 1) также само по себе должно быть исключено, так как при перестановке множителей знак минус не появляется; но это легко можно исправить, если заменить произведение | 0)| 1) комбинацией

| 0)| 1) — | 0)| 1).

(Для нормировки оба члена можно было бы умножить на общий множитель 1/ √2.) Это состояние правильно изменяет знак при перестановке первой частицы со второй, но теперь состояния | 0)| 1) и | 0)| 1) уже не независимы. Вместо этих двух состояний нам теперь разрешается иметь только одно состояние! Всего существует

1/ 2 ( 10 х 9) = 45

состояний такого рода — по одному на каждую неупорядоченную пару различных состояний из | 0), | 1)…., | 9). Таким образом, для задания двухфермионного состояния в нашей системе необходимы 45 комплексных чисел. В случае трех фермионов нам требуются 3 различные позиции, и базисные состояния выглядят следующим образом

Всего таких состояний ( 10 х 9 х 8) / 6= 120, поэтому для задания трехфермионного состояния необходимы 120 комплексных чисел.

Для пары тождественных бозонов независимые базисные состояния бывают двоякого рода, а именно такие, как

| 0)| 1) + | 1)| 0),

и такие, как

| 0)| 0)

(которое теперь разрешается), что дает всего 10 х 11/ 2= 55 базисных состояний. Таким образом, для задания двухбозонных состояний требуется 55 комплексных чисел. Для трех бозонов существуют базисные состояния трех различных типов и для задания каждого из них требуются ( 10 х 11 х 12) / 6= 220 комплексных чисел, и так далее.

Разумеется, для того, чтобы донести до читателя основные идеи, я рассматривал упрощенную ситуацию. Более реалистическое описание потребовало бы целый континуум состояний с определенным положением, но существенные идеи остаются такими же. Еще одно небольшое осложнение связано с наличием спина. Для каждой частицы со спином 1/ 2(такая частица с необходимостью является фермионом) в каждом положении существовало бы 2 возможных состояния. Обозначим их «↑» (спин «вверх») и «↓» (спин «вниз»). Тогда в рассматриваемой нами упрощенной ситуации мы получаем не 10, а 20 базисных состояний

а в остальном рассуждать следует так же, как было сделано только что (таким образом, для двух таких фермионов необходимо взять ( 20 х 19) / 2= 190 чисел, для трех — ( 20 х 19 х 18) / 6= 1140 и т. д.).