Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

В этом заключается суть довода, предложенного Лукасом [1961] в поддержку точки зрения, согласно которой деятельность мозга не может быть полностью алгоритмической, против которого, однако, время от времени выдвигались различные контрдоводы (см., например, Бенасерраф [1967], Гуд [1969], Льюис [1969, 1989], Хофштадтер [1981], Бови [1982]). В связи с этой дискуссией я должен подчеркнуть, что термины «алгоритм» и «алгоритмический» относятся к чему угодно, что может быть (достоверно) смоделировано на компьютере общего назначения. Сюда включается, конечно, как «параллельная обработка», так и «нейросети» (или «машины с переменной структурой связей»), «эвристика», «обучение» (где всегда заранее задается определенный фиксированный шаблон, по которому машина должна обучаться), а также взаимодействие с внешним миром (которое может моделироваться посредством входной ленты машины Тьюринга). Наиболее серьезным из этих контраргументов является следующий: чтобы действительно убедиться в истинности утверждения P_k( k)нужно знать, какой именно алгоритм использует математик, и при этом быть уверенным в правомерности его использования в качестве средства достижения математической истины.

Если в голове у математика выполняется очень сложный алгоритм, то у нас не будет возможности узнать, что он из себя представляет, и поэтому мы не сможем сконструировать для него утверждение геделевского типа, не говоря уже об уверенности в обоснованности его применения.

Такого типа возражения часто выдвигаются против утверждений подобных тому, которое я привел в начале этого раздела, а именно, что теорема Геделя свидетельствует о неалгоритмическом характере наших математических суждений. Но сам я не нахожу это возражение слишком убедительным. Предположим на мгновение, что способы, которыми математики формируют осознанные суждения о математической истине действительно являются алгоритмическими. Попробуем, используя теорему Геделя, доказать абсурдность этого утверждения от противного ( reductio ad absurdum!).

Прежде всего мы должны рассмотреть возможность того, что разные математики используют неэквивалентные алгоритмы для суждения об истинности того или иного утверждения. Однако — и это одно из наиболее поразительных свойств математики (может быть, почти единственной в этом отношении среди всех прочих наук) — истинность математических утверждений может быть установлена посредством абстрактных рассуждений! Математические рассуждения, которые убеждают одного математика, с необходимостью убедят и другого (при условии, что в них нет ошибок и суть нигде не упущена). Это относится и к утверждениям типа геделевского. Если первый математик готов согласиться с тем, что все аксиомы и операции некоторой формальной системы всегда приводят только к истинным утверждениям, то он также должен быть готов принять в качестве истинного и соответствующее этой системе геделевское утверждение. Точно то же самое произойдет и со вторым математиком. Таким образом, рассуждения, устанавливающие математическую истину, являются передаваемыми [217].

Отсюда следует, что мы, говоря об алгоритмах, имеем в виду не какие-то неясные разномастные построения, которые, возможно, рождаются и бродят в голове каждого отдельного математика, а одну универсально применяемую формальную систему, которая эквивалентна всем возможным алгоритмам, использующимся математиками для суждений о математической истине. Однако мы никак не можем знать, является ли эта гипотетическая «универсальная» система той, которая используется математиками для установления истинности. Ибо в этом случае мы могли бы построить для нее геделевское утверждение, и знали бы наверняка, что оно математически истинно. Следовательно, мы приходим к заключению, что алгоритм, который математики используют для определения математической истины, настолько сложен или невразумителен, что даже правомерность eго применения навсегда останется для нас под вопросом.

Но это бросает вызов самой сущности математики! Основополагающим принципом всего нашего математического наследия и образования является непоколебимая решимость не склоняться перед авторитетом каких-то неясных правил, понять которые мы не надеемся. Мы должны видеть— по крайней мере, в принципе — что каждый этап рассуждений может быть сведен к чему-то простому и очевидному. Математическая истина не есть некая устрашающе сложная догма, обоснованность которой находится вне границ нашего понимания — она строится из подобных простых и очевидных составляющих; и когда они становятся ясны и понятны нам, с их истинностью соглашаются все без исключения.