О Бесконечном

а + b = b + а

никакого значения сами по себе не имеют, точно так же, как и числовые знаки; однако из неё можно получить формулы, которым мы приписываем значение, именно тем, что мы их понимаем как сообщение конечных высказываний. Если мы этот взгляд обобщим, то математика сведётся к совокупности формул, во-первых, таких, которым соответствуют содержательные сообщения конечных высказываний, т. е. по существу числовых равенств или неравенств, и во-вторых, других формул, которые сами по себе никакого значения не имеют и которые являются идеальными образами нашей теории.

Какова же была наша цель? В математике мы нашли, с одной стороны, такие конечные высказывания, которые содержат только числовые знаки, как-то:

3 > 2, 2 + 3 = 3 + 2, 2 = 3,  1 ≠ 1;

эти высказывания, если исходить из нашей конечной точки зрения, оказываются непосредственно наглядными и без дальнейшего понятными; их можно отрицать, они верны или ложны, можно свободно, не задумываясь, распоряжаться ими согласно логике Аристотеля; закон противоречия для них имеет место, т. е. какое-либо высказывание этого рода и его отрицание не могут оба быть верны; имеет место закон исключённого третьего, т. е. одно из двух — либо данное высказывание верно, либо верно его отрицание. Когда я говорю: «некоторое высказывание ложно», то это равносильно утверждению: «отрицание этого высказывания верно». Кроме этих элементарных высказываний совершенно непроблематического характера, мы встречали также конечные высказывания проблематического характера, например, такие, которые были неразделимы. Наконец, мы ввели  идеальные высказывания, которые должны способствовать тому, чтобы в совокупности опять-таки имели место обычные законы логики. Но так как идеальные высказывания, именно формулы, сами по себе не имеют значения, поскольку они не выражают конечных утверждений, то логические операции над ними не могут производиться содержательно, как над  конечными  высказываниями. В таком случае сами логические операции и математические доказательства необходимо формализовать; это требует перевода логических соотношений на язык формул. Поэтому мы должны будем к математическим знакам прибавить ещё и логические знаки, например:

& (и), V (или; либо), --> (если, то), ! (неверно)

и пользоваться кроме математических переменных а, b, с, ... ещё и логическими переменными, т. е. переменными высказываниями A, В, С, ...

Как это может произойти? К счастью для нас, здесь оказывается та же предустановленная гармония, которую мы так часто встречаем в истории развития науки — которая пригодилась Эйнштейну, когда он для своей гравитационной теории нашёл вполне разработанное общее исчисление инвариантов: в качестве такой успешно разрабатывавшейся предварительной теории мы находим алгоритм логики. Правда, этот последний возник первоначально из совершенно других отправных точек зрения, и в соответствии с этим знаки логического исчисления первоначально были введены тоже только для сообщений; но будет последовательным, если мы теперь отвергнем значение логических знаков, как мы отвергли значение знаков математических, и объявим, что формулы логического исчисления сами по себе не имеют никакого значения и суть идеальные высказывания. В логическом исчислении мы обладаем языком  знаков,  которым  можно математические теоремы выразить с помощью формул, а логические умозаключения выразить с помощью формального процесса. Аналогично тому, как мы это делали при переходе от содержательной теории чисел к формальной алгебре, мы и в логическом исчислении рассматриваем знаки и символы операций, отвлекаясь от их содержательного  значения. Благодаря этому, мы вместо содержательной математической науки, которую мы передаём обыкновенным языком, получаем некоторую совокупность формул с математическими и логическими знаками, следующих друг за другом по определённым правилам. Математическим аксиомам соответствуют некоторые определённые формулы, а содержательным выводам соответствуют правила, по которым формулы следуют одна за другой: таким образом, содержательные выводы подменяются внешними действиями согласно правилам. Тем самым совершается строгий переход от наивного к формальному обращению, с одной стороны, с самими аксиомами, которые сначала наивно считались основными истинами и которые уже давно в современной аксиоматике рассматриваются только как связи понятий, а, с другой стороны — с логическим исчислением, которое первоначально должно было быть только лишь иным языком.

Мы хотим ещё кратко разъяснить, каким образом формализируется математическое доказательство. Определённые формулы, которые, как я сказал, служат камнями для постройки формального здания математики, называются аксиомами. Математическое доказательство есть некоторая фигура, которая, как таковая, должна  наглядно пред нами предстать; оно состоит из выводов,  делаемых по следующей схеме:

S , S --> L

-----------

     L