О Бесконечном

Давид Гильберт О Бесконечном

Вейерштрасс своей критикой, которую он проводил с мастерской остротой, положил твёрдые основания математического анализа. Выяснив, среди остальных понятий, понятия минимума, функции, производной, он тем самым устранил недочёты, имевшие место в исчислении бесконечно малых, очистил его от всех расплывчатых представлений о бесконечно малом и окончательно преодолел при этом трудности, вытекающие из понятия «бесконечно малое». Если теперь в последовательности умозаключений, которые основаны на понятии иррационального числа и вообще предела, царит в анализе полное единодушие и уверенность — даже в самых запутанных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений, — если, несмотря на самые смелые и многообразные результаты, несмотря на нагромождение и перекрещивание пределов, всё же имеется совпадение всех результатов, то это — существенная заслуга научной деятельности Вейерштрасса.

Однако обоснованием, данным анализу бесконечно малых Вейерштрассом, дискуссия об основах анализа не закончилась.

Причина этого лежит в том, что значение бесконечного для математики ещё не выяснено до конца. Правда, бесконечно малое и бесконечно большое были из анализа Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся к этим понятиям, были сведены к соотношениям между конечными величинами. Но бесконечное всё же выступает снова в бесконечных числовых последовательностях, определяющих действительное число, и затем в понятии системы действительных чисел, которая воспринимается точно так, как предстоящая перед нами готовая и законченная совокупность.

Формы логических умозаключений, в которых выражается эта трактовка, — когда, например, идёт речь о всех действительных числах, обладающих известным свойством, или о том, что существуют действительные числа, обладающие известным свойством, — суть как раз те формы, к которым неограниченно обращаются в вейерштрассовском обосновании анализа и которые применяют, постоянно повторяя.

Благодаря этому бесконечное сумело снова в прикрытом виде пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето остротой его критики; отсюда следует, что проблема бесконечного и есть как раз то, что нам в указанном смысле необходимо ещё выяснить до конца. Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах ещё и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи. И подобно тому как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, которые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же результаты, т.е. позволяющими проводить тот же ход доказательства и применять те же методы для получения формул и теорем.

В этом и заключается замысел моей теории. Эта теория ставит своей целью установить определённую надёжность математического метода, которой критический период исчисления бесконечно малых ещё не достиг; она должна, таким образом, завершить то, к чему стремился Вейерштрасс в своём обосновании анализа и к достижению чего им был сделан необходимый и существенный шаг.

Однако, затрагивая вопрос о выяснении понятия бесконечности, приходится принимать во внимание ещё более общую точку зрения. Если обратить на это внимание, то оказывается, что математическая литература наводнена нелепостями и бессмыслицами, в которых большей частью повинна бесконечность. Так например, иногда в качестве ограничительного требования подчёркивают, что в строгой математике в доказательстве допускается только конечное число умозаключений — как будто кому-либо удалось уже когда-либо сделать бесконечное число умозаключений.

Также и старые возражения, которые долгое время считались похороненными, выступают опять в новом одеянии. Недавно, например, было высказано следующее: если даже введение какого-либо понятия может быть произведено без опасений, т.е. без получения противоречий, и это может быть доказано, то всё же это понятие не является в достаточной мере оправданным. Не является ли это в точности тем возражением, которое в своё время выдвигали против комплексных (мнимых) чисел, говоря: правда, из-за них не получается никаких противоречий, но их введение всё же незаконно, так как мнимые величины всё-таки не существуют. Нет, если помимо доказательства непротиворечивости может иметь смысл ещё вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый.