О Бесконечном

Но опять-таки современная наука, и в частности астрономия, подняла этот вопрос сызнова и попыталась решить его не с помощью недостаточных методов метафизического умозрения, а на основах, опирающихся на опыт и покоящихся на применении законов природы. При этом выявились веские возражения против бесконечности. Предполагать, что пространство бесконечно, вынуждает нас геометрия Евклида. Хотя геометрия Евклида и является системой понятий, непротиворечивой в самой себе, но отсюда, однако, ещё не следует, что она выполняется в действительности. Имеет ли это место — это может решить только наблюдение и опыт. При попытках умозрительно показать бесконечность пространства вкрадывались также и очевидные ошибки. Из того факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова имеется пространство, следует только неограниченность пространства, а не его бесконечность. Но понятия неограниченность и конечность не исключают друг друга. Математические исследования дают нам так называемую эллиптическую геометрию — естественную модель конечного Мира. Отказ от евклидовой геометрии является теперь не только чисто математическим или философским умозрением, но мы пришли к этому отказу также и с другой стороны, которая первоначально не имела ничего общего с вопросом о конечности вселенной. Эйнштейн показал необходимость отойти от геометрии Евклида. На основании своей гравитационной теории он берётся и за космологические вопросы и показывает возможность конечности вселенной, причём все найденные астрономами результаты вполне согласуются с предположением об эллиптическом мире.

Итак, мы установили конечность действительного в двух направлениях: в отношении бесконечно малого и бесконечно большого. Всё же может случиться, что бесконечное в нашем мышлении занимает полноправное место и является необходимым понятием. Мы посмотрим, как с этим обстоит в математической науке, и первым делом опросим чистейшее и наивнейшее дитя человеческого духа — теорию чисел. Из имеющейся здесь богатой совокупности элементарных формул возьмём какую-либо одну, например:

1²+ 2² + 3² + ...+ n² = (1/6)п(n + 1)(2n + 1).

Так как мы можем подставить в неё вместо п какое-либо целое число, например, положить п = 2 или п = 5, то эта формула содержит бесчисленное множество высказываний; в этом, очевидно, и заключается её суть, благодаря чему только она и представляет решение арифметической проблемы и требует собственно доказательства, между тем как частные числовые равенства

1²+ 2² = (1/6)*2*3*5,

1²+ 2²+ 3²+ 4²+ 5² = (1/6)*5*6*11

могут быть проверены с помощью вычислений и потому в отдельности не представляют, по существу, никакого интереса.

С абсолютно другим, совершенно своеобразным толкованием и принципиальным пониманием идеи бесконечного мы знакомимся благодаря чрезвычайно важному и плодотворному методу идеальных элементов. Метод идеальных элементов находит себе применение уже в элементарной геометрии плоскости. Здесь реальными, действительно существующими предметами являются вначале только точки и прямые плоскости. Для них имеет место, между прочим, аксиома соединения: через две точки проходит всегда одна и только одна прямая. Отсюда получается, что две прямые пересекаются не более чем в одной точке. Но теорема, утверждающая, что две прямые всегда пересекаются в одной точке, несправедлива; две прямые могут быть параллельными. Однако известно, что с помощью идеальных элементов, а именно с помощью бесконечно удалённых точек и с помощью одной бесконечно удалённой прямой можно достичь того, что теорема, согласно которой две прямые всегда пересекаются в одной и только одной точке, окажется справедливой во всех случаях.

Идеальные «бесконечно удалённые» элементы приносят ту пользу, что они делают систему законов соединения возможно более простой и обозримой. Вследствие симметрии между точкой и прямой, отсюда, как известно, получается оказавшийся столь плодотворным принцип двойственности в геометрии.

Обычные комплексно-мнимые величины алгебры также являются примером использования идеальных элементов; они служат здесь для упрощения теорем о существовании корней уравнения и их числе.

Подобно тому как в геометрии бесконечное множество прямых, именно параллельные друг другу прямые, используется для определения идеальной прямой, так и в высшей арифметике определённые бесконечные системы чисел объединяются в один числовой идеал, и в этом состоит, пожалуй, самое гениальное применение принципа идеальных элементов. Если это происходит вообще, внутри некоторого алгебраического числового поля, то мы находим в этом поле простые и хорошо известные законы делимости, аналогичные тем, которые имеют место для обыкновенных целых чисел. Здесь мы уже попали в область высшей арифметики.