О чем говорят цифры. Как понимать и использовать данные

Несмотря на проблемы с публикацией, основные выводы статьи получили широкое распространение во всем мире среди тысяч трейдеров и инвесторов, применявших их для рутинных расчетов цены опционов. Модель проста в расчетах и подробно раскрывает взаимосвязи между всеми входящими в нее переменными. Она обеспечивает полезную аппроксимацию, особенно при анализе направленности движения цен на опционы в критических точках. Даже если результаты нельзя считать абсолютно точными, их можно использовать в качестве первого приближения, а затем уточнить.

Модель Блэка и Шоулза стала незаменимой не только при прогнозировании цен на опционы, но и при решении многих других проблем экономики. Ее можно назвать самой успешной экономической концепцией во всей экономической теории. Мертон и Шоулз в 1997 году получили Нобелевскую премию по экономике за развитие новых методов определения цены деривативов. Хотя умерший в 1995 году Блэк не смог стать нобелевским лауреатом, но его заслуги были специально отмечены Академией наук Швеции.

Пример аналитического мышления: подозрительный муж

В 1973 году в разделе «Советы читателям» газеты Dear Abby появилась такая заметка[46]:

Dear Abby, в вашей колонке написано, что женщина вынашивает ребенка 266 дней. Кто вам это сказал? Я вынашивала своего ребенка десять месяцев и пять дней; в этом не может быть сомнений, поскольку я точно знаю, когда он был зачат. Мой муж – флотский офицер, и ребенок не мог быть зачат в другой день, поскольку я видела своего мужа всего лишь в течение часа и в следующий раз мы встретились уже после рождения ребенка. Я не пью и не гуляю с мужчинами, поэтому отцом ребенка может быть только мой муж. Пожалуйста, напечатайте опровержение этой заметки насчет 266 дней, иначе у меня будут большие неприятности.

Читательница из Сан-Диего

В ответной заметке газета постаралась ободрить читательницу, но о сроках беременности было написано немного.

Дорогая читательница! Средний период беременности действительно составляет 266 дней. В некоторых случаях дети рождаются недоношенными, а в некоторых – переношенными. В вашем случае ребенок родился переношенным.

Если бы газета уделила больше внимания количественной стороне вопроса, то в ответной заметке содержалось бы больше чисел. Последние всегда более убедительны, а в данном случае речь идет об относительно простой проблеме, связанной с теорией вероятности. Рассмотрим ее в рамках стандартного шестишагового подхода к проблеме количественного анализа.

Формулирование проблемы. В данном случае вопрос не в том, что ребенок родился переношенным, это и так понятно. Десять месяцев и пять дней – это примерно 310 дней, что существенно больше среднего срока беременности в 266 дней, о котором упоминала газета. Вопрос в том, насколько нетипичен этот случай (или какова его вероятность). Достаточно ли он нетипичен, чтобы заподозрить женщину во лжи?

Изучение предыдущих поисков решения. Мы можем с уверенностью предположить, что распределение продолжительности беременности является нормальным (то есть график распределения напоминает колокол). Вероятность того, что беременность будет продолжаться 310 дней, легко рассчитать с помощью Z-критерия (количество стандартных отклонений от среднего значения) для нормального распределения, что является азбукой статистических расчетов.

Моделирование (выбор переменных). Вероятность того, что беременность может длиться по крайней мере 310 дней.

Сбор данных (измерения). Имеющиеся данные позволяют сделать вывод о том, что среднее значение продолжительности беременности составляет 266 дней со стандартным отклонением 16 дней.

Анализ данных. Если средняя продолжительность беременности составляет 266 дней со стандартным отклонением 16 дней, то вероятность ее продолжительности в 10 месяцев и пять дней (300 и более дней) составляет 0,003 (если принять, что распределение нормальное).