О науке

Прежде чем разбирать эти аксиомы, я должен ответить на один вопрос: почему в их формулировке я сохранил немецкое слово Menge вместо того» чтобы перевести его по-французски словом ensemble (множество)? Потому что я не уверен в том, что слово Menge сохраняет свой интуитивный смысл, без которого было бы затруднительно отбросить определение Кантора; французское же слово ensemble внушает этот интуитивный смысл чересчур навязчиво, чтобы его можно было употреблять без помехи и в том случае, когда смысл изменялся.

На седьмой аксиоме я остановлюсь лишь немного; при этом я должен сказать несколько слов, чтобы отметить весьма оригинальный способ, которым Цермело ее высказывает. Он в действительности не удовлетворился данной мною формулировкой и говорит: существует Menge M, которое не может содержать элемента a, не включая в себя в то же время в качестве элемента Menge(a), т. е. такое, единственным элементом которого является a. И тогда, если M содержит элемент a, то оно будет содержать еще и ряд других элементов, а именно: Menge, единственным элементом которого является a, Menge, единственным элементом которого является Menge, единственным элементом которого является a, и т. д. Достаточно хорошо видно, что число этих элементов должно быть бесконечным. На первый взгляд, этот обходной путь кажется очень странным и очень искусственным; так оно в действительности и есть. Но Цермело хотел избежать слова «бесконечный», так как он рассматривает свои аксиомы как предшествующие отличению конечного от бесконечного.

Перейдем к шести первым аксиомам. Их можно рассматривать как очевидные, если только слову Menge будет дан его интуитивный смысл и если при этом будут рассматриваться предметы только в конечном числе. Но они являются таковыми не больше чем следующая аксиома, откровенно отброшенная автором:

8. Какие бы то ни было объекты образуют Menge.

В таком случае нам приходится задать вопрос: почему очевидность 8-й аксиомы исчезает, как только дело касается бесконечных совокупностей, в то время как очевидность шести первых имеет место?

Если для решения этого вопроса мы обратимся к формулировке аксиом, то прежде всего мы убедимся, что все эти аксиомы без исключения не дают нам ничего иного, кроме одного: определенные совокупности, образованные по определенным законам, составляют Mengen; таким образом, эти аксиомы окажутся для нас не чем иным, как правилами, предназначенными для расширения смысла слова Menge, чистыми определениями слова. И это одинаково верно как для 8-й аксиомы, которую мы отбрасываем, так и для первых семи аксиом, которые мы принимаем.

Мы одинаково быстро убеждаемся, что это первое впечатление ошибочно; подобные определения слова не поставят нас перед противоречием, его можно опасаться только в том случае, если мы имеем другие аксиомы, утверждающие, что некоторые совокупности не являются Mengen, а мы этих аксиом не имеем. В то же время, если мы отбрасываем 8-ю аксиому, то мы это делаем для того, чтобы избежать противоречия; Цермело говорит это открыто.

Поэтому отсюда необходимо заключить, что он не рассматривал свои аксиомы как простые определения слова, а связывал со словом Menge интуитивный смысл, существовавший до формулирования аксиом, хотя и немного отличный от обычного смысла. Его нельзя не заметить, исследуя, как автор пользуется им в своих рассуждениях. Menge — это нечто, о чем можно рассуждать, это нечто в определенной мере прочное и неизменное. Определить множество, Menge, некоторую совокупность — это всегда значит произвести классификацию, отделить предметы, принадлежащие этому множеству, от тех, которые не участвуют в нем. Тогда мы скажем, что это множество не есть Menge, если соответствующая классификация не предикативная, и что оно является Menge, если эта классификация предикативная или если относительно нее можно рассуждать так, как если бы она была таковой.

Если мы обрасываем 8-ю аксиому, то потому, что какие бы то ни было объекты, конечно, образуют совокупность, но совокупность, которая никогда не будет замкнутой и порядок которой может быть в любой момент нарушен введением непредвиденных членов; это такая совокупность, которая не предикативна. И, наоборот, когда мы, например, говорим, что каждому Menge T соответствует другое Menge UT или ST определенное неким способом, то мы утверждаем, что это определение предикативно, или что мы имеем право работать с ним, как если бы оно было таким.