О науке

Здесь уместно поговорить об одном различии, которое играет существенную роль в теории Цермело: «Eine Frage oder Aussage E, über deren Gültigkeit oder Ungultigkeit die Grundbeziehungen des Bereiches vermöge der Axiome und der allgemeingultigen logischen Gesetze ohne Willkür unterscheiden, heisst definit»[92]. Слово «definit» — здесь в большой степени синоним слова «предикативный». Так, предположим, например, что этот вопрос E будет заключаться в следующем: обладает ли такой-то элемент, принадлежащий Menge M, такими-то зависимостями по отношению ко всем другим элементам того же Menge, и можем ли мы согласиться говорить, что все элементы, относительно которых следует сказать да, образуют класс K? Для меня, и я думаю, что также и для Рассела, подобный вопрос не является определенным, так как другие элементы M бесконечны числом, так как можно будет без конца вводить новые из них и так как среди введенных новых могут быть такие, в определение которых входит понятие класса K, т. е. совокупности элементов, обладающих свойством E. Для Цермело этот вопрос был дефинитным, и я не знаю точно, где строгое разграничение между вопросами, которые дефинитны и которые таковыми не являются. Ему кажется, что для того, чтобы узнать, обладает ли некоторый элемент свойством E относительно всех других элементов M, достаточно проверить, обладает ли он им относительно каждого из них. Если вопрос оказывается дефинитным относительно каждого из этих элементов, то он будет таковым ipso facto (тем самым) и относительно всех этих элементов.

Здесь-то и выявляется расхождение наших взглядов. Цермело запретил себе рассматривать множество всех объектов, удовлетворяющих некоторому определенному условию, так как ему кажется, что это множество никогда не бывает замкнутым, что всегда можно ввести в него новые объекты. Наоборот, он не стесняется говорить о множестве объектов, составляющих часть определенного Menge M и удовлетворяющих, кроме того, некоторому условию. Ему кажется, что он не может получить Menge, не получив одновременно все его элементы. Среди этих элементов он выберет те, которые удовлетворяют данному условию, и произведет этот выбор достаточно спокойно, не боясь нарушить его введением новых и непредвиденных элементов, так как что касается этих элементов, то они все уже у него в руках. Образовав заранее свое Menge M, он воздвиг монастырские стены, которые останавливают непрошенных, могущих прийти извне. Но он не спросил себя, не могут ли появиться непрошенные внутренние посетители, которых он заключил вместе с собой в своих стенах. Если Menge M имеет бесконечное число элементов, это должно значить не то, что эти элементы могут рассматриваться как существующие все вместе с самого начала, а то, что без конца могут появляться новые; они появятся внутри стен вместо того, чтобы появиться вне их, вот и все. Когда я говорю о всех целых числах, я хочу говорить как о всех уже изобретенных числах, так и о тех, которые могут быть когда-нибудь изобретены; когда я говорю о всех точках пространства, то я хочу говорить о всех точках, координаты которых выражаются рациональными числами, или алгебраическими числами, или интегралами, или всеми другими способами, какие могут быть изобретены. И это-то «могут быть» и есть бесконечность. Но можно будет изобрести такие, которые будут определяться многими способами, и если мы вернемся, как раньше, к нашему вопросу E и классу K, то вопрос E возникает вновь всякий раз, как определят новый элемент M; среди этих элементов, которые мы сможем определить, найдутся такие, определение которых будет зависеть от этого класса K. Таким образом, порочный круг не может быть обойден. Вот почему аксиомы Цермело меня не удовлетворяют. Они не только не кажутся мне очевидными, но когда меня спросят, свободны ли они от противоречий, я не буду знать, что ответить. Автор думал избежать наиболее существенного парадокса, запретив себе всякие спекуляции за пределами полностью замкнутого Menge; он думал избежать парадокса Ришара, не ставя никаких вопросов, кроме дефинитных, что по тому смыслу, который он вкладывает в это выражение, исключает всякое рассмотрение объектов, которые могут быть определены конечным числом слов. Но если он хорошо запер свою овчарню, то я не убежден в том, что он не запер туда и волка. Я не успокоюсь до тех пор, пока он не покажет, что он укрыт от противоречий; я прекрасно знаю, что он не может этого сделать, так как он должен был бы опираться, например, на принцип индукции, который он, без сомнения, не признал бы, но который он предполагал доказать далее. Он должен был бы идти дальше; это произошло бы ценой логической ошибки, но по меньшей мере мы в этом были бы уверены.

6. Употребление бесконечности