О науке

Несколько лет тому назад я имел случай предложить некоторые идеи, относящиеся к логике бесконечного, к применению бесконечности в математике, к тому употреблению, которое сделали ей вслед за Кантором; я объяснил, почему я не считаю законным некоторые способы рассуждений, которыми считали себя вправе пользоваться различные выдающиеся математики[93]. Естественно, я вызвал против себя строгие реплики; эти математики не считают, что они ошиблись, и они считают, что имели право делать то, что делали. Полемика затянулась, но не потому, что без конца приводились новые аргументы, а потому, что все время вертелись в одном и том же круге, каждый повторял то, что он уже говорил, как будто не слыша того, что ему говорил противник. Поминутно мне присылали новое доказательство оспариваемого принципа, чтобы оградиться, как говорили, от всяких возражений; но это доказательство было все тем же самым, лишь слегка загримированным. Конечно же, не пришли ни к какому заключению; сказать, что я этим удивлен, значило бы дать весьма печальное представление о моей психологической проницательности. При таких условиях приходится еще раз повторить свои аргументы, которым я, пожалуй, могу придать новую форму, но сущности которых я не могу изменить, так как мне кажется, что их даже не пытались опровергнуть. Мне кажется, что предпочтительнее выяснить, в чем основа этого расхождения мыслей, порождающего подобное различие взглядов. Я скажу, что эти непримиримые разногласия меня не удивили, что предвидел их с самого же начала, но это не избавляет нас от поисков объяснения; можно предвидеть факт после ряда повторных опытов и затрудняться в объяснении его.

Попытаемся же изучить психологию двух спорящих школ с точки зрения вполне объективной, как будто мы сами находимся вне этих школ, как будто мы описываем войну двух муравейников. Прежде всего заметим, что среди математиков существуют две противоположные тенденции в способе представления бесконечности. Для одних бесконечность происходит из конечного; бесконечность существует потому, что существует бесконечное множество всевозможных конечных предметов; для других же бесконечность существует раньше конечного; конечное получается отрезанием маленького кусочка от бесконечности.

Теорема должна быть проверяемой, но так как мы сами конечны, то мы можем оперировать только с конечными объектами; даже если в формулировке теоремы участвует понятие бесконечности, необходимо, чтобы при проверке его не употребляли, иначе проверка станет невозможной. В качестве примеров я возьму следующие теоремы: последовательность простых чисел бесконечна, ряд Σ1/n² сходящийся и т. д.; каждая из них может быть выражена равенствами, в которых фигурируют только конечные числа. Эти теоремы связаны с бесконечностью не потому, что одна из возможных проверок связана с нею, а потому, что число возможных проверок бесконечно.

Высказав теорему, я утверждаю, что все эти проверки будут успешны; очевидно, что всех их не проделывают; я их называю возможными потому, что их можно проделать за конечное время, но практически они могут быть невозможными, так как потребуют многих лет работы. Для меня достаточно того, что можно представить себе такого достаточно богатого и сумасбродного человека, который занялся бы этим, оплачивая достаточное число помощников. Доказательство теоремы как раз и имеет задачей сделать ненужным это сумасбродство.

Имеет ли смысл теорема, которая не приводит ни к какому проверяемому выводу? Или, выражаясь более общо, имеет ли смысл теорема без тех проверок, которые она вызывает? В этом вопросе математики разделились. Принадлежащие к первой школе, я их назову прагматистами (ведь нужно же дать им какое-нибудь имя), отвечают «нет», и когда им предлагают теорему без указания способа ее проверки, они смотрят на нее как на нечто невразумительное. Они не желают ничего представлять себе, кроме объектов, которые могут быть определены конечным числом слов. Когда в рассуждении им говорят об объекте A, удовлетворяющем определенным условиям, они усматривают под этим объект, который удовлетворяет этим условиям, каковы бы при этом ни были слова, использованные для его окончательного определения, лишь бы их было конечное число.

Принадлежащие к другой школе, их я назову для краткости канторианцами, не желают принимать этого; человек, каким бы он ни был болтуном, никогда в своей жизни не произнесет более миллиарда слов; а тогда исключим ли мы из науки объекты, определение которых содержит миллиард и одно слово? И если мы их не исключим, то почему же мы исключим те объекты, которые могут быть определены только бесконечным числом слов, ведь построение как одних, так и других превосходит человеческие способности?