О науке

Пуанкаре выдвигает следующие принципиальные возражения против логицизма: новые результаты в математике нельзя получить только при помощи логики — нужна еще и интуиция; доказательство уже полученных математических истин невозможно без обращения к интуиции; символика логицистов является путами для математического творчества. И как общий итог этих возражений — невозможность сведения математики к логике и необходимость наличия интуиции в математическом познании. Пуанкаре не ограничивается только критикой программы логицистов, он одновременно рассматривает многие стороны проблемы интуиции и противопоставляет идеям логицистов хорошо разработанное учение. Пуанкаре не отрицал той роли, которую играет в математическом творчестве логический вывод. Но, по его мнению, одной только логикой математика никак не исчерпывается. Необходим еще один род творчества, который столь безапелляционно отвергли логицисты: интуиция. Логика может только разворачивать, раскрывать то знание, которое изначально заложено в исходных посылках. «Доказательство, основывающееся по-настоящему на принципах аналитической логики, должно состоять из ряда предложений; одни из них, служащие посылками, будут представлять тождества или определения, другие будут выводиться из первых шаг за шагом, но, хотя связь между каждым предложением и следующим замечается непосредственно, нельзя будет сразу же увидеть, как совершился переход от первого предложения к последнему, и явится искушение рассматривать его, как новую истину. Но, если последовательно заменять различные, фигурирующие в нем выражения их определениями и если продолжить эту операцию до тех пор, пока это возможно, то под конец останутся только тождества, так что все сведется к одной колоссальной тавтологии. Следовательно, логика, если только она не оплодотворена интуицией, остается бесплодной»[113]. Только интуиция, постижение истины не путем доказательства, а непосредственным интеллектуальным усмотрением ее содержания, позволяет сделать скачок к принципиально новому знанию.

В споре с Пеано, Расселом и их единомышленниками Пуанкаре использует термин «интуиция» в самых различных смыслах. При этом необходимо подчеркнуть, что интуиция Пуанкаре не имеет ни малейшего оттенка чего-то иррационального или мистического. Он, специально отмечая это, очень много внимания уделяет конкретному анализу роли интуиции. Неоднократно говорит он, например, об интеллектуальной и чувственной интуиции. Первая, по его мнению, лежит в основе математического творчества. Интеллектуальная интуиция позволяет математикам «не только доказывать, но еще и изобретать. Через нее-то они подмечают сразу общий план логического здания» (с. 218). Это очень редкий и благодатный дар, считает Пуанкаре, лишь немногие владеют им. В то же время, он далек от того, чтобы преувеличивать достоинства интуитивного метода. «Интуиция не может дать нам ни строгости, ни даже достоверности — это замечается все больше и больше» (с. 208). Поэтому неизбежен, по его мнению, логический элемент в математике. «Логика и интуиция имеют каждая свою необходимую роль. Обе они неизбежны. Логика, которая одна может дать достоверность, есть орудие доказательства, интуиция есть орудие изобретательства» (с. 216).

По Пуанкаре, разум — слуга двух господ: логика доказывает, а интуиция творит. И та, и другая равно необходимы в математических исследованиях. И все же, чаша весов заметно склоняется у Пуанкаре в пользу интуиции. Впрочем, это не удивительно. Ведь сколько раз именно интуиция приводила его к новым результатам, позволяла увидеть скрытые возможности. Об интуитивном характере своего творчества свидетельствует и он сам в знаменитом докладе 1908 года на заседании «Психологического общества», который вошел в книгу «Наука и метод» в виде главы под названием «Математическое творчество» Здесь Пуанкаре приводит примеры из раннего этапа своей научной деятельности, когда он работал над автоморфными функциями. Примеры эти стали ныне хрестоматийными и много раз уже цитировались в литературе о психологии научного творчества. Свидетельствуют они о том, что счастливая мысль осеняет творца, как правило, не в то время, когда он трудится над проблемой, а после того, как, не найдя решения и устав от бесплодных усилий, он временно откладывает задачу, забывает о ней. Идея рождается либо благодаря ничтожному намеку, либо же без всякого видимого толчка, свидетельствуя о подсознательной работе, совершающейся в мозгу независимо от воли и сознания. Эти наблюдения Пуанкаре полностью совпадают с тем, что сообщали до него Гельмгольц и Гаусс.