Объективная диалектика

Одним из наиболее развитых учений, представители которого приложили много усилий к решению проблемы сущности числа, является логицизм. Еще Кантор отстаивал идею о том, что понятие числа связано с понятием множества. При этом он считал, что множества не являются чисто мысленными построениями, а существуют как некоторые реальности. Выяснение связи понятия числа с понятием множества принадлежит Фреге и Расселу. Они определяли натуральное число путем отождествления его с некоторым свойством, присущим всем множествам (классам), между которыми можно установить одно-однозначное соответствие. Такое соответствие имеется, например, между множествами ног всех сороконожек. Это означает, что у них одинаковое число ног. Поскольку не между всеми классами можно установить одно-однозначное соответствие и поскольку существуют различные классы классов с одно-однозначным соответствием между их членами, постольку каждые различные классы классов имеют различные числа своих членов.

Гильберт и его последователи (так называемые формалисты) попытались в процессе обоснования понятия числа избежать тех трудностей, с которыми связана логика классов, считая, что это можно сделать при помощи аксиоматического определения числа. Они предложили следующую процедуру.

Принимается начальный знак «I» и процедура образования других знаков добавлением знака «I». Результатом ее применения будут знаки «II», «III» и т. д. Затем вводятся вспомогательные знаки-цифры (например, вместо «III» — «З»), знак «=», указывающий, что два знака имеют одинаковую структуру, знак «<», указывающий, что один знак предшествует другому (так «II»< <«III», т. е. если начать с «I», то сначала придем к «II», а затем к «III»), скобки. Далее вводится аксиоматика, задающая операции над знаками: аксиомы соединения, вычислительные аксиомы, аксиомы порядка, аксиомы непрерывности[227].

Доказательство непротиворечивости системы аксиом, по Гильберту, одновременно и доказательство существования чисел. Крайние формалисты считали число не более чем знаком, а содержание математики видели в манипулировании знаками, не имеющими смысла. Продолжающие в определенном смысле формализм интуиционисты и представители так называемого конструктивного направления в математике считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Иными словами, каждое отдельное число имеет значение лишь постольку, поскольку существует определенное отношение его к другим числам. (Назовем это направление в целом порядковой концепцией числа.)

В определении числа логицистами есть рациональные моменты. В концепции логицизма указывается на связь понятия числа с множествами объектов. В материальном мире действительно существуют системы, состоящие из множества элементов, причем в некоторых случаях множества элементов различных систем находятся в однозначном соответствии, а в других нет. Эта ситуация существует независимо от познающего субъекта. Следовательно, понятие числа имеет объективные основания.

Рациональное содержание имеется и в порядковой концепции числа. Здесь нужно учесть то положение, согласно которому конкретное число имеет значение только тогда, когда оно занимает определенное место в системе чисел. Энгельс отмечал: «Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система»[228]. Отношения между числами отражают объективные отношения между различными множествами объектов (или элементов систем), причем определенный тип отношений. Известен пример, хорошо иллюстрирующий эту ситуацию. При обычном определении сложения, например 2+2=4. Однако не каждые два объекта, соединяясь с двумя другими, дают четыре (в чем наглядно можно убедиться, поместив вместе двух кошек и двух мышей). 2+2=4 — это утверждение, сформулированное для некоторого типа отношений объектов. Предполагается, что все элементы множеств неизменны и сохраняют свою определенность при проведении над ними операции сложения.

Учитывая позитивные моменты в определении числа, отмеченные выше, можно охарактеризовать понятие числа как отражение объективного существования эквивалентных множеств объектов (элементов) и объективного существования отношений между неэквивалентными множествами, причем в отношениях множеств их элементы сохраняют свое существование и определенность. Такое понимание числа, как нам представляется, может быть распространено не только на натуральные числа, но и на другие виды чисел, поскольку последние фактически представляют собой результат определенных отношений между натуральными числами. Онтологически это соответствует все более сложным формам отношений между множествами элементов.