Объективная диалектика

Синтез второго момента количества (величины) с моментами качества заключается в том, что моменты качества — свойства объектов, его элементы и т. д. — имеют величину. В реально существующих объектах нет ни количественно неопределенного качества, ни качественно неопределенного количества. Поэтому нельзя согласиться с тем распространенным мнением, что качество — это одни характеристики объекта, а количество — другие (например, говорят о температуре как количественной характеристике объекта, а о фазовом состоянии — как качестве объекта). На самом деле каждое свойство, каждый элемент и т. д. объекта имеет и качественную, и количественную сторону.

Обобщение опыта научного исследования позволяет утверждать, что каждый качественный момент объекта обладает специфической величиной, которая может варьироваться в определенных пределах. Именно это обстоятельство прежде всего и имеется в виду, когда характеризуется понятие меры. Однако анализ содержания меры объекта не исчерпывается выявлением специфических величин качественных моментов объекта.

В материальных объектах существуют отношения специфических величин, связанных с теми или иными свойствами, элементами и т. д. В том случае, когда имеется отношение между однородными свойствами, элементами и т. д., качественная сторона отношения отходит на второй план, и мы обнаруживаем собственно количественное отношение (т. е. отношение величин с одинаковой размерностью). Но могут быть отношения между разнородными свойствами, элементами и т. д. (т. е. отношение между специфическими величинами с различной размерностью). Количественное отношение между специфическими величинами, связанными с качественно различными свойствами, элементами и т. д. в явлении, есть отношение функциональной зависимости.

Понятие функциональной зависимости (функции) возникло и развилось в математике как понятие о зависимости между двумя, а позднее многими переменными величинами. Дальнейшее развитие понятия функции получило на основе теории множеств. Функция стала пониматься как сопоставление элементов множеств по некоторому закону. Множества, о которых говорится в определении функции, могут быть составлены из элементов любой природы; законы соответствия задаются самыми разнообразными способами и не всегда аналитически. Понятие функции в математике подверглось различным обобщениям. В дифференциальном и интегральном исчислениях функция, встречающаяся в той или иной задаче, рассматривается как имеющая хотя и неизвестную, но постоянную форму. В вариационном исчислении исходят из того, что меняется сама форма функции.

Как понятие функции, так и ее обобщения являются средством отображения реально существующих функциональных зависимостей в объектах. Еще Эйлер отмечал, что решение задач на экстремум служит средством познания природных явлений, поскольку «в природе не происходит ничего, в основе чего не лежало бы какое-нибудь свойство максимума или минимума»[238]. Идея о существовании в природе своеобразных «экстремумов» является одной из важных методологических идей. В механике, например, большое значение имеет принцип наименьшего действия Гамильтона, заключающийся в том, что интеграл по времени, взятый от разности кинетической и потенциальной энергии между двумя определенными моментами времени, для действительного движения является минимальным по сравнению с любым другим мыслимым движением, которое вело бы от того же начального к тому же конечному состоянию. Гельмгольц распространил этот принцип на ряд немеханических явлений. Планк видел в нем наиболее общий закон природы[239].

Еще более сложным понятием является понятие функционала: функционал — это выражение (функция), значение которого зависит от переменной функции. Так, можно рассматривать функционал как числовую функцию, определенную на множестве, элементы которого — числовые функции одной или нескольких переменных. Важное значение в математике и ее приложениях имеет также понятие оператора: оператор — это выражение, преобразующее одну функцию в другую.

Особенностью функционального отношения в материальном объекте является то, что оно не есть уже чисто количественное отношение, а такое количественное отношение, которое имеет явно выраженную качественную «окраску». Оно включает в себя как количественную, так и качественную стороны. Конечно, когда функциональное отношение определяют в теоретико-множественных понятиях, отвлекаются от качественной природы элементов множеств. Но при задании конкретных функций качественная сторона не может быть абстрагирована. Так, в простом случае функциональной зависимости площади от линейных элементов мы имеем дело с разнокачественными характеристиками, что и находит выражение в том, что в соответствующих формулах участвуют именованные числа. Поскольку функциональная зависимость — это отношение между специфическими величинами с различной размерностью, постольку функциональная зависимость и не может быть отождествлена с количественной зависимостью.