Объясняя мир. Истоки современной науки

Теорема явным образом обобщается: любое число, например, 3, 5, 6 и т. д., которое само не является квадратом целого числа, не может быть квадратом рационального числа. Например, если 3 = (p/q)², где p и q – наименьшие целые числа, для которых это равенство справедливо, то p² = 3q², но это невозможно, если только нет такого целого p', для которого p = 3p', но тогда q² = 3p'², и q = 3q' для некоего целочисленного q', и, значит, 3 =(p'/q')², что противоречит предположению о том, что не существует целых чисел меньше p и q, для которых p2 = 3q2. Поэтому квадратные корни чисел 3, 5, 6, … иррациональны все.

Современная математика признает существование иррациональных чисел, таких как число, обозначаемое √2, квадрат которого равен 2. Если это число представить в виде десятичной дроби, то последовательность знаков такого числа продолжается до бесконечности, не повторяясь. Например, √2 = 1,414213562… И во множестве рациональных, и во множестве иррациональных чисел их количество бесконечно, но в каком-то смысле иррациональных чисел намного больше, чем рациональных, поскольку рациональные числа можно представить как бесконечную последовательность, включающую все рациональные числа:

1, 2, 1/2, 3, 1/3, 2/3, 3/2, 4, 1/4, 3/4, 4/3, …

тогда как перечислить все иррациональные числа никаким способом нельзя.

6. Установившаяся скорость падения

Чтобы понять, как наблюдения за падающими телами привели Аристотеля к его теории падения тел, мы можем воспользоваться физическим принципом, Аристотелю неизвестным, – Вторым законом Ньютона. Он говорит нам, что ускорение a тела (темп возрастания его скорости) равно частному от деления полной силы F, действующей на тело, на его массу m:

На тело, падающее в воздухе, действуют две основные силы. Одна из них – сила тяготения, пропорциональная массе падающего тела:

F_т=mg.

Здесь g – постоянная величина, не зависящая от того, какое именно тело падает. Оно обозначает ускорение свободного падения тела в вакууме и вблизи земной поверхности, приблизительно равное 9,8 м/с за секунду. Вторая сила – сопротивление воздуха. Она выражается функцией f (v), значение которой пропорционально плотности воздуха, увеличивается с ростом скорости и зависит от формы и размера тела, но не зависит от его массы:

F_в = −f(v) = kv.

В этой формуле знак минуса для силы сопротивления воздуха подставлен, потому что мы рассматриваем ускорение, направленное вертикально вниз, а для вертикально падающего тела сила сопротивления воздуха направлена вверх. Например, для тела, падающего сквозь среду значительной вязкости, ее сопротивление пропорционально скорости тела:

f(v) = kv.

В этой формуле k – положительная константа, которая зависит от размера и формы тела. В то же время, если мы рассмотрим, например, метеороид или ракету, входящую в разреженные верхние слои атмосферы, то будет работать другая формула:

f(v) = Kv²,

где K – другая положительная константа.

Подставив в формулу для полной силы, действующей на падающее тело, F = F_т + F_в выражения для сил тяготения и сопротивления и заменив затем полученной суммой множитель силы во Втором законе Ньютона, получаем:

Когда тело только-только отпустили и оно лишь начало падать, его скорость еще ничтожно мала, поэтому сила сопротивления воздуха не действует, и оно просто летит вниз с ускорением, равным g. По мере падения его скорость растет и сопротивление воздуха начинает уменьшать ускорение падения. В конце концов скорость становится такой, что слагаемое – f (v)/m сравнивается по модулю со слагаемым g в формуле выше и ускорение падает до близкой к нулю величины. Эта скорость называется установившейся скоростью падения и определяется как корень уравнения

f (v_уст) = gm.

Аристотель нигде не упоминал установившуюся скорость падения, но та скорость, которую можно определить по этой формуле, характеризуется теми же свойствами, которые он приписывал скоростям падающих тел. Поскольку f (v) – монотонно возрастающая функция от v, то установившаяся скорость возрастает с ростом массы m. В особом случае, когда f(v) = kv, установившаяся скорость падения прямо пропорциональна массе и обратно пропорциональна коэффициенту сопротивления:

Но в общем случае зависимость скорости падающих тел от времени может быть иной. Так или иначе, тяжелые тела приобретают присущую им установившуюся скорость только после продолжительного падения.

7. Падение капель