Объясняя мир. Истоки современной науки

Рис. 5. Четыре наблюдения, которые Аристарх использовал для расчета размеров Солнца и Луны и расстояний от Земли до них: а) треугольник, образуемый Землей, Солнцем и Луной в момент, когда Луна находится в середине фазы первой или последней четверти; б) диск Луны точно закрывает диск Солнца для земного наблюдателя во время полного солнечного затмения; в) Луна заходит в тень Земли во время полного лунного затмения. Сфера, которая на месте Луны точно перекрывала бы конус тени, имеет диаметр, вдвое больший, чем у Луны, а точка P – крайняя точка конуса тени, отбрасываемой Землей; г) видимый угловой размер Луны по Аристарху составляет 2°; истинное его значение близко к 0,5°.

Наблюдение 2

Луна точно покрывает видимый диск Солнца во время полного солнечного затмения.

Это показывает, что у Луны и Солнца примерно один и тот же видимый угловой размер, в том смысле, что угол между направлениями от земного наблюдателя на противоположные края диска Солнца такой же, как между направлениями на противоположные края диска Луны (см. рис. 5б). Отсюда следует, что треугольники, образуемые этими линиями и поперечными диаметрами Луны и Солнца, являются «подобными», то есть углы при вершинах у них попарно равны. Поскольку соотношения размеров сторон в подобных треугольниках одинаковы для всех сторон, то

Исходя из результатов наблюдения 1, Аристарх получил значение отношения D_с/D_л = 19,11, в то время как настоящее соотношение диаметров двух тел близко к 390.

Наблюдение 3

Тень Земли в месте расположения Луны во время лунного затмения широка настолько, что может точно вместить сферу диаметром в два раза больше Луны.

Обозначим P точку, где находится вершина конуса тени, отбрасываемой Землей. У нас получается три подобных треугольника: треугольник, образованный поперечным диаметром Солнца и линиями между его концами и точкой P; треугольник, образованный поперечным диаметром Земли и линиями между его концами и точкой P; и треугольник, образованный двойным поперечным диаметром Луны и линиями между его концами и точкой P (см. рис. 5в). Следовательно, соотношения подобных сторон во всех этих треугольниках взаимно равны. Предположим, что точка P находится на расстоянии d₀ позади Луны. Тогда расстояние между этой точкой и Солнцем составляет d_с + + d_л + d₀, а между ней же и Землей – d_л + d₀, поэтому

Выполнив несложные алгебраические преобразования, мы можем найти из второго равенства выражение для d₀:

Подставляя его в первое равенство и перемножая обе части на D_зD_с (D_з – 2D_л), получаем:

Слагаемые d_лD_с × (−2D_л) в левой части и 2D_лd_лD_с в правой части взаимно обращаются в 0. Оставшиеся в правой части слагаемые имеют общий множитель D_з, который сокращается с множителем D_з в левой части. Таким образом, у нас получается формула для D_з:

Зная результат наблюдения 2, то есть выведенное нами равенство d_с/d_л = D_с/D_л, уравнение выше может быть записано с использованием одних лишь диаметров небесных тел:

Если мы используем полученное ранее численное значение D_с/D_л = 19,1, это даст D_з/D_л = 2,85. Аристарх выразил значение этого отношения как лежащее между 108/43 = 2,51 и 60/19 = 3,16, и число 2,85 замечательно попадает в этот промежуток. Но его настоящее значение равно 3,67. Причина того, что результат Аристарха оказался довольно близок к истинной величине, несмотря на сильную ошибку в оценке отношения D_с/D_л, в том, что результат вычисления малочувствителен к точному значению D_с, если D_с много больше D_л. В самом деле, если мы совсем выкинем из знаменателя слагаемое D_л как ничтожно малое по сравнению с D_с, то D_с в числителе и знаменателе сократятся, и у нас получится просто D_з = 3D_л, что не так уж далеко от истины.

Но значительно более важное историческое значение имел тот факт, что, совмещая значения отношений D_с/D_л = 19,1 и D_з/D_л = 2,85, легко найти, что D_с/D_з = 19,1/2,85 = 6,70. И хотя по-настоящему D_с/D_з = 109,1, уже и такой результат показывал, что Солнце значительно больше Земли. Аристарх усилил эффект, показав сравнение соотношения не диаметров, а объемов двух тел: если соотношение их диаметров равно 6,7, то соотношение их объемов будет равняться 6,73 = 301. Именно это сопоставление, если верить Архимеду, привело Аристарха к мысли, что Земля обращается вокруг Солнца, а не Солнце вокруг Земли.

Уже описанные нами выкладки Аристарха дают значения всех соотношений диаметров Солнца, Луны и Земли, а также значение отношения расстояний до Солнца и Луны. Однако пока мы никак не можем связать соотношением какой-либо диаметр тела с расстоянием между телами. Это становится возможно при учете результата четвертого наблюдения:

Наблюдение 4