Observationes Domini Petri de Fermat

Invenire 3. quadratos ut productus ex binorum multiplicatione adsumptâ eorumdem summa quadratum faciat. Huius tamen quæstionis infinitas solutiones dare possumus.

En, verbi gratia sequentem solutionem; satisfaciunt nempe problemati tres quadrati sequentes.

^3504384/₂₀₃₄₀₁ 1. quadratus.

^2019241/₂₀₃₄₀₁ 2. quadratus.

4 3. quadratus.

Imo et ulterius progredi et Diophantæam quæstionem promovere nihil vetat. Sequens enim problema generaliter et infinitis modis construximus.

Invenire 4 numeros sub quibus binis quod fit planum adscitâ amborum summâ, faciat quadratum.

Inveniantur, per 5. propositionem libr. 5. tres quadrati ut quem bini faciunt planum adsciscens amborum summam faciat quadratum et sunto illi numeri quadrati;

²⁵/₉⁶⁴/₉¹⁹⁶/₉

Sunt ergo tres isti quadrati, tres primi numeri nostræ quæstionis, ponatur quartus 1N. fient tria producta una cum summis æqualia.

³⁴/₉ N + ²⁵/₉ primum.

⁷³/₉ N + ⁶⁴/₉ secundum.

²⁰⁵/₉ N + ¹⁹⁶/₉ tertium.

Hæc igitur tria æquanda quadrato, et oritur triplicata æqualitas, cuius explicationem dedimus ad quæstionem 24. libri sexti.

Перевод:

У Диофанта имеется другая задача, V₅, посвященная тому же вопросу. Но неизвестно, опустил ли он, хотя и знал ее, следующую задачу или, что более вероятно, дал ее решение в одной из своих тринадцати книг.

Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, было бы квадратом.

Мы можем дать бесконечно много решений этого вопроса. Вот, например, одно из них: три квадрата удовлетворяют предложенному условию

^3504384/₂₀₃₄₀₁, ^2019241/₂₀₃₄₀₁, 4

Но можно пойти дальше и распространить вопрос Диофанта. Так, мы решили следующую более общую задачу и можем дать бесконечное число ее решений:

Найти четыре числа таких, чтобы произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же чисел, давало квадрат.

Сначала найдем, согласно V₅, такие три квадрата, что произведение любых двух из них, увеличенное на сумму этих же квадратов, дает квадрат. Пусть это будут, например, три квадрата, найденные Диофантом:

²⁵/₉, ⁶⁴/₉, ¹⁹⁶/₉.

Возьмем эти три квадрата в качестве трех первых чисел нашей задачи; пусть x будет четвертым; образуя его произведения с каждым из предыдущих и прибавляя сумму обоих множителей, получим

³⁴/₉ x + ²⁵/₉ = □, ⁷³/₉ x + ⁶⁴/₉ = □, ²⁰⁵/₉ x + ¹⁹⁶/₉ = □.

Возникает тройное равенство, которое мы разобрали в примечании к задаче VI₂₄ [в нашем издании V₂₂ — И. Б.].

OBSERVATIO D. P. F. AD COMMENTARIUM præcipuè ad locum illum, Adverte tertio etc. VII (p. 127–128)

Ad commentarium (in quæstionem XXII Libri III), præcipuè ad locum illum: Adverte tertio etc.[3]

Numerus primus qui superat unitate quaternarij multiplicem semel tantùm est hypotenusa trianguli rectanguli, eius quadratus bis, cubus 3. quadratoquadratus 4 etc. in infinitum.

Idem numerus primus et ipsius quadratus componuntur semel ex duobus quadratis: eius cubus et quadratoquadratus, bis: quadratocubus et cubocubus ter etc. in infinitum.

Si numerus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in alium primum etiam ex duobus compositum quadratis, productum componetur bis ex duobus quadratis: si ducatur in quadratum eiusdem primi: productum componetur ter ex duobus quadratis: si ducatur in cubum eiusdem primi productum componetur quater ex duobus quadratis, et sic in infinitum.

Hinc facile est determinare quoties numerus datus sit hypotenusa trianguli rectanguli, sumantur omnes primi, quaternarij multiplicem unitate superantes qui datum numerum metiuntur v. g. [verbi gratia] 5. 13. 17. Quod si potestates dictorum primorum metiantur datum numerum, Disponantur una cum reliquis loco laterum v. g. [verbi gratia] metiantur datum numerum 5. per cubum, 13. per quadratum et 17. per latus simpliciter.

Sumantur exponentes omnium divisorum Nempe numeri 5. exponens est 3. propter cubum, numeri 13. exponens est 2. propter quadratum et numeri 17. unitas tantum: ordinentur igitur ut volueris dicti omnes exponentes ut si velis. 3. 2. 1. ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam primi et secundi fit 17. ducatur iam 17. in tertium bis et producto adijciendo summam 17 et tertij, fit 52. datus igitur numerus erit hypotenusa 52. triangulorum rectangulorum, nec est dissimilis in quotcumque divisoribus et ipsorum potestatibus methodus.

Reliqui numeri primi qui quaternarij multiplicem unitate non superant nihil aut addunt quæstioni aut detrahunt neque ipsorum potestates.