Онтология математического дискурса

Как в формулировке этой теоремы, так и в ее доказательстве фигурируют лишь общие термины. Доказательство, однако, проведено так, что все общие термины в нем можно заменить на единичные. Так, задав некоторое полное метрическое пространство (допустим, фиксированный отрезок прямой линии), т.е. указав вполне определенный единичный предмет, обладающий всеми требуемыми свойствами, и задав какое-то конкретное сжимающее отображение на нем, мы можем, пользуясь прописанной в доказательстве схемой, указать на некоторый, также вполне определенный, единичный предмет, обладающий всеми требуемыми свойствами (т.е. являющийся неподвижной точкой отображения). Указание единичного предмета - важнейший момент такого рода рассуждений. Хотя само оно и проводилось как бы абстрактно, т.е. безотносительно каких-либо единичностей, однако возможность работы с ними и составляет его реальный смысл. Любой, включенный в рассуждение индивидуальный предмет получает в ходе его полную определенность (ясность онтологического статуса) в силу его отличимости от любого другого предмета, указанного каким-либо иным способом. Итак, о каком-либо предмете можно сказать, что он существует, если приведена конечная схема, которая, будучи применена к указанному вполне определенному объекту (или конечному набору объектов), приводит к построению рассматриваемого предмета. Тот факт, что схема, на которую мы ссылались в нашем примере, содержала построение бесконечной последовательности, еще не нарушает конструктивности определения существования. Предел последовательности есть вполне определенный объект, построение которого, при заданной сходящейся последовательности, вовсе не требует таких запредельных абстракций, как актуальное предъявление всей бесконечной последовательности. Выяснить, например, что последовательность xn = 1/2n сходится к 0, можно с помощью легко завершаемой процедуры. Последнее верно, конечно, не для любой последовательности. Но в разобранном нами примере такую последовательность указать можно. (Например, если задать отображение, которое каждой точке отрезка будет ставить в соответствие точку, расположенную в два раза ближе к фиксированному концу отрезка.) Но именно эта возможность и важна для определения существования в конструктивном смысле. Слово "существует" в рамках рассмотренной нами интерпретации должно быть прочитано именно как "существует единичный предмет, на который можно непосредственно указать".

Конечно же математическое рассуждение не ограничивается такими, завязанными на вполне определенный единичный предмет, построениями. Математический анализ постоянно имеет дело с такими предметами, которые не могут быть вполне определены с помощью конечной процедуры построения. Самый характерный пример - иррациональное число, которое определяется либо как последовательность рациональных чисел, либо как сечение на множестве рациональных чисел. В любом случае такое определение предмета предполагает предъявление какой-то бесконечной совокупности и о его существовании уже невозможно говорить в рассмотренном выше смысле. Тем более это невозможно, если речь идет о последовательностях или о бесконечных множествах вещественных чисел. Названные предметы, тем не менее, весьма активно изучаются в анализе. В математике принято два способа говорить о существовании этих неконструируемых предметов.