Онтология математического дискурса

Объекты своей теории Кантор вводит с помощью отвлечения общих признаков, присущих классу сходных предметов. Именно так он определяет понятия мощности и порядкового типа. Обе названные характеристики он рассматривает как общее свойство множеств "возникающее путем абстрагирования от всех особенностей". В частности Кантор пишет: "Тем, что мы мыслим только о том, что является общим для всех множеств, принадлежащих одному и тому же классу, мы получаем понятие мощности или валентности" ([31], c. 248; курсив Кантора). Точно также пишет он и о порядковых типах: "Я рассматриваю целые числа и порядковые типы как универсалии, которые относятся к множествам и получаются из них, когда абстрагируются от свойств элементов" (c. 269). Из последнего отрывка очевидно, что Кантор пытается рассматривать трансфинитные числа по аналогии с конечными целыми числами. Последние действительно можно рассматривать как результат абстрагирования от особенных свойств конечных множеств. Так число четыре есть то общее, что присуще четырем яблокам, четырем ножкам стула, четырем углам квадрата и т.д. - это весьма традиционное представление, восходящее к Аристотелю. Кантор же склонен рассматривать любое множество как сущность. Оно должно считаться существующим, если каждый его элемент вполне определен. Тогда и само множество вполне определено и его существенный признак (т.е. его порядковое число) также рассматривается как вполне определенное. Кантор, по-видимому, склонен субстантивировать и эти существенные признаки. Он даже пытается описать их в аристотелевских категориях материи и формы, утверждая, что совокупность элементов множества следует рассматривать как материю порядкового числа, а порядок, существующий между этими элементами, как форму (c. 270-271). (См. примечание 1)

  3 Брауэровская интерпретация существования

Выше мы выделили такое понимание существования предмета в математике, которое основано на возможности непосредственно указать на этот предмет с помощью определенной завершенной процедуры. Иными словами, предмет существует тогда, когда может быть сконструирован. Утверждение, что такая интерпретация существования является атрибутом интуиционистской школы (существенным признаком, отличающим ее от других школ) давно стало общим местом. Выразительная формула - "esse=construi" - рассматривается (и, очевидно, не без основания) как девиз всего этого направления. Важно, впрочем, иметь в виду, что приведенная фраза принадлежит Карлу Попперу, весьма критично относившемуся к интуиционизму ([46], c. 473-479). Как бы точно ни характеризовало попперовское выражение интуиционистское понимание существования, оно нуждается в серьезном углублении.

Конструктивность математических объектов не появляется в математике интуиционистской школы как нечто само собой разумеющееся. По крайней мере для Брауэра (о котором мы и будем говорить в дальнейшем) она оказывается необходимым следствием анализа когнитивной деятельности человека. Структура математического рассуждения (как его представляет Брауэр) отражает прежде всего эту деятельность, более того, является наиболее чистым ее выражением.

Брауэровская математика (как и вся математика интуиционистской школы) чаще всего рассматривается в контексте кризиса оснований, вызванного обнаружением известных парадоксов и антиномий. Поэтому в требовании конструктивности математических объектов видят, главным образом, попытку устранить из математики самую возможность противоречия. Однако сам Брауэр, очевидно, идет гораздо дальше этой попытки. В целом ряде его работ обнаруживается не столько математический, сколько чисто философский интерес автора. Во всяком случае в тех статьях, на которые мы намерены в дальнейшем опираться, Брауэр озабочен не обоснованием корректности математических процедур, а исследованием когнитивной деятельности мысли как таковой. При этом он имеет явное намерение основать принцип существования в математике на исходных структурах мысли. Им предпринимается попытка трансцендентального анализа, призванного обосновать основные математические понятия как производные от форм интеллектуальной деятельности.