Онтология математического дискурса

Обратим, прежде всего, внимание на серьезность расхождения Гильберта с Брауэром. Он (Гильберт) совершенно недвусмысленно говорит о множестве действительных чисел, как о существующем объекте. Такое допущение абсолютно невозможно для Брауэра, поскольку множество действительных чисел, понятое к тому же как совокупность "вещей", начисто исключается всякой интуицией и не может быть сконструировано. Мы очевидно имеем дело с принципиально иной философской установкой, выражающейся, в частности, в попытке иначе (чем основываясь на понятии конструктивности) определить онтологический статус предмета.

С другой стороны, однако, не нужно глубокого проникновения в суть формальной математики, чтобы увидеть множество черт, сближающих ее с интуиционистской. Прежде всего, обращает на себя внимание слово "финитность", использованное самим Гильбертом в качестве основной характеристики своего метода рассуждения. Сам этот термин, явно указывающий на завершенность осуществляемых процедур (т.е., по сути, на конструктивность), мог бы быть применен и к интуиционистской математике. Если же говорить о попытках определения финитности, предпринимавшихся именно в рамках гильбертовской школы, то они подчас вызывают полное ощущение того, что речь идет об основных посылках интуиционизма. Френкель и Бар-Хиллел, например, в качестве окончательной формулы финитного метода рассуждения приводят следующую цитату из Ж. Эрбрана (известного математика - ученика Гильберта): "Всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций, функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений; никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта; никогда не рассматривается (как вполне определенное) множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности" ([55], c.321). Наверное любой представитель интуиционистского или конструктивного направления опознал бы в приведенном отрывке описание своего собственного метода рассуждения. Речь однако идет об основных принципах формального метода. Заметим, кстати, что приведенное определение явно противоречит цитированному выше рассуждению Гильберта о существовании множества всех действительных чисел. Последнее никак не является объектом, для которого можно указать способ построения, однако Гильберт считает его существующим. Объясняется ли такое противоречие лишь тем, что приведенное здесь описание принадлежит не Гильберту, а математику, который мог в чем-то расходится со своим учителем? Или слова Эрбрана о существовании нужно понимать несколько иначе, чем те же самые слова, написанные интуиционистом?

В книге Гильберта и Бернайса [18] также есть описание финитного метода рассуждения. Важным уточнением по отношению к определению Эрбрана является, прежде всего, указание на наглядность финитного объекта. Лучшим примером, иллюстрирующим эту наглядность, является рассуждение, проводимое в формальной алгебре ([18], c. 56-58). Имея запас букв (переменных) и специальных знаков, мы, действуя в рамках этой дисциплины, конструируем объекты (полиномы), руководствуясь заранее заданными правилами. Начиная с простейших объектов, состоящих из одной буквы, мы можем построить множество разнообразных и весьма сложных объектов. В рамках, обусловленных правилами процедур, могут доказываться различные утверждения и устанавливаться свойства конструируемых объектов. Но каким бы ни было проводимое рассуждение, его справедливость может быть проверена наглядно, поскольку оно всегда непосредственно представлено перед глазами. Узнать что-либо о предмете означает построить его, любой предмет алгебры возникает под руками исследователя и процедура его возникновения полностью доступна наблюдению. Финитное рассуждение характеризуется в [18] как "прямое содержательное рассуждение, совершающееся в виде мысленных экспериментов над наглядно представимыми объектами." (с. 59).

Если бы, занимаясь математикой, мы могли бы постоянно оставаться в рамках финитного рассуждения, то естественно было бы понимать существование математического объекта в смысле его конструктивности. Однако предметы математики очень часто не являются финитными объектами. В [18] приводится целый ряд примеров того, как в математике возникают предметы, которые невозможно сконструировать и которые не могут быть представлены наглядно. Уже арифметика требует использования нефинитных рассуждений, прибегая к "tertium non datur" для обоснования высказываний о целых числах. Число, о свойствах которого мы судим на основании закона исключенного третьего, не представлено наглядно, и может не быть доступно конструированию с помощью конечной процедуры (с. 62-64).