Онтология математического дискурса

Числовая последовательность оказывается для Брауэра основным математическим объектом. Конструирование, которое, согласно замечанию Поппера, является единственным онтологически значимым для математики процессом, следует рассматривать именно как конструирование числовых последовательностей. Впрочем, такое конструирование часто является не самоцелью, а скорее способом определения непрерывного протяженного предмета. Последний, конечно, не есть реальность, данная до всякого построения. Он - среда, а не вещь. Существует то, что происходит в этой среде, точнее, что создается субъектом, действующим в пределах, заданных этой средой. Создается же им дискретная числовая последовательность. Основополагающим отношением для любой последовательности является отношение 'до-после' (отношение порядка). Это отражает ведущую роль интуиции времени в математике. Структура различия, вносимая субъектом в среду, является временной структурой. Основным различением, существующим между создаваемыми элементами, является различение во времени. Определенность предмета возникает, однако еще при одном условии, которое и делает, на наш взгляд, окончательно ясной роль конструктивности. Необходимо принять во внимание еще одну важную характеристику когнитивной деятельности, на которую указывает Брауэр. "Человеческое поведение включает попытку удерживать достаточно длинную цепь 'вещей' с тем, чтобы иметь возможность перейти мысленно от последней к более ранней. Результатом такого действия является обнаружения правила, закона, формирующего последовательность" ([65], с. 99).

Коль скоро когнитивная деятельность подразумевает удержание в мысли некоторого единства, чего-то целого, явленного в последовательных восприятиях (или действиях), то математика должна, выражая эту способность, конструировать единый предмет из многих элементов последовательности. "Человеческое понимание основано на конструировании обычных математических систем так, что каждый индивидуальный элемент жизни связан с соответствующим элементом системы" (Там же). Конструкция, таким образом, оказывается необходима потому, что создает единство многих конструктивных элементов (различенных моментов или восприятий). Конструирование, следовательно, лежит в основе человеческого понимания всякого предмета вообще. Благодаря созданной конструкции, предмет предстает человеку как существующий. Особенно это важно коль скоро речь идет о протяженном предмете, представление которого связано с длением, с непрерывно длящимся восприятием. Смысл конструирования тогда состоит в создании целостной структуры различимых элементов в текучей и неопределенной среде.

Брауэром, следовательно, была реализована трансцендентальная установка, причем в том виде, в каком она прописана у Канта. К онтологической проблематике он подходит со стороны анализа рассуждения и выясняет как должен быть устроен предмет, чтобы фигурировать в рассуждении в качестве существующего. Более того, Брауэр выясняет, что предмет должен быть для этого создан в результате конструктивной деятельности, разворачиваемой во времени. Такая конструктивная деятельность сводится к созданию единой структуры - именно так понятый математический объект может рассматриваться как существующий. Единая структура, с другой стороны, развертывается согласно закону, правилу, устанавливаемому для ряда "вещей" или восприятий. По-видимому трудно интерпретировать это правило иначе, как действие способности суждения, как установление обобщающей гипотезы для совокупности установленных ранее фактов.

  4 Интерпретация существования в философии математики Гильберта

Понимание существования математического предмета в рамках формального направления в математике представляется, на первый взгляд, совершенно противоположным интуиционистскому. В книге Френкеля и Бар-Хиллела ([55], c. 322), утверждается, что Гильберт скорее всего солидаризировался бы в этом вопросе с Пуанкаре, отождествляя существование со свободой от противоречия. Следующий пассаж из работы Гильберта "О понятии числа" уточняет и подтверждает эту точку зрения.

"В доказательстве непротиворечивости установленных аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство существования совокупности действительных чисел или - употребляя выражение Кантора - доказательство того, что система действительных чисел является 'консистентным' (готовым) множеством..." И далее: "...под множеством действительных чисел мы должны, согласно этой точке зрения, понимать не совокупность всевозможных законов, которым будут следовать элементы фундаментальных последовательностей, а скорее - как это было изложено выше - систему вещей, взаимоотношения которых задаются с помощью ранее указанной конечной и замкнутой системы аксиом." ([15], c. 320).