Опционы. Полный курс для профессионалов

Луи Башелье первым попытался найти математический подход к оценке опционов в 1900 г. Решение было найдено в 1970 г. Майроном Шолцем и Фишером Блэком, с помощью Роберта Мертона. Разработанный ими метод позволял рассчитать «справедливую» премию за европейский опцион колл на акции. Опционы к тому моменту использовались уже столетиями, но солидные издания не проявляли интереса к публикации статьи Блэка и Шолца на протяжении почти трех лет! Их публикация совпала с открытием в 1973 г. Чикагской фьючерсной биржи, где идея нашла своих поклонников, и к 1978 г. ежедневный оборот составлял уже 100 000 контрактов^[39].

В основе метода Блэка и Шолца лежит принцип паритета опционов пут и колл, который мы обсуждали ранее. В соответствии с этим принципом, если цена акции идет вверх, то же самое происходит и с ценой опциона колл, хотя и не обязательно на ту же величину. Таким образом, чтобы нивелировать потери на опционе, необходимо иметь некое количество акций (дельта!), балансирующих опционную позицию. За счет постоянной коррекции количества акций (процесс перехеджирования), которые держит инвестор на протяжении срока жизни опциона, должна достигаться безрисковая позиция. Это означает, что прибыль от покупки опциона колл будет полностью покрыта затратами на хеджирование акциями.

Однако модель Блэка – Шолца основана на ряде допущений. Например, нет никаких предположений относительно направления рынка: предполагается, что рынок колеблется случайным образом, и вероятность роста равна вероятности падения. Также предполагается, что цены движутся без разрывов. Например, после 100 может быть 99 или 101, но никак не 80 или 104. Следовательно, если строить график плотности вероятностей колебания цен закрытия рынка в течение некоторого времени, то получится кривая в форме колокола с более широкой правой стороной, известная также как логнормальное распределение^[40].

Еще одно важное допущение состоит в том, что не только цена базового актива имеет нормальное распределение, но и рыночная волатильность зафиксирована.

В 1976 и 1979 гг. Кокс, Росс и Рубинштейн опубликовали собственную модель ценообразования опционов. Это была первая модель, которая могла применяться для американских опционов, предусматривающих возможность досрочного исполнения.

В 1982 г. Гарман и Колхаген дополнили модель Блэка – Шолца, чтобы она могла применяться для валютных опционов. Новая модель учитывала тот факт, что на цену опциона влияют две процентные ставки, а не одна.

В дальнейшем было внесено множество других дополнений. Сейчас на многих рынках действуют модели «новых поколений». Часть из них уточняет старые модели. Другие обходят нереальные предположения, заложенные в ранних вариантах, например, учитывают, что рыночная волатильность не распределена нормально.

В 1994 г. Дерман и Кани разработали модель, базирующуюся на биномиальном дереве, ранее использовавшуюся для долгосрочных американских опционов на акции, для оценки барьерных опционов в условиях кривой волатильностей (каждому периоду соответствует свой уровень волатильности). Постепенно биномиальные модели эволюционировали в триномиальные, дав возможность более точной оценки премий опционов.

* * *

Однако большинство допущений, на которых базируются модели, нарушаются рынками. Следовательно, вводимые в модель данные отличаются от идеализированных допущений, сделанных Блэком и Шолцем, чтобы облегчить вычисления на практике:

• Волатильность и процентные ставки изменяются с течением времени, причем зачастую достаточно хаотично, т. е. они не только не статичны, но и не распределены нормально.

• Существует множество случаев, когда движение цен не соответствует логнормальному распределению. Если происходит непредвиденное событие, прерывается рыночный тренд и появляются ценовые разрывы.

• Трансакционные издержки в виде bid/ask спреда и комиссионных (которые не учитываются в моделях) также являются важным фактором. Покупка и продажа опционов обходятся дороже, чем покупка и продажа на рынке spot. Цена опциона включает три спреда: прокотированный опционным дилером в терминах ожидаемой волатильности; прокотированный дилером на рынке spot и прокотированный дилером на форвардном рынке. В цене на рынке spot всего лишь один спред.

Из-за невыполнимости предположения о логнормальном распределении цен модель ценообразования опционов имеет тенденцию к недооценке валютных otm-опционов. В ранний период развития рынка опционов банки теряли деньги из-за того, что строго придерживались теоретических цен, полученных на основании моделей; в результате они продавали otm-опционы слишком дешево. Сейчас маркетмейкеры используют модели в качестве ориентиров, но дополняют теоретические расчеты собственными прогнозами ожидаемой волатильности.

12. Волатильность