Опционы. Полный курс для профессионалов

6. Ро

Кроме вышеперечисленных параметров, в теории хеджирования рассматриваются производные цены опциона по процентной ставке – ро (rho). Для европейского опциона колл на акцию без дивидендов ее значение вычисляется по следующей формуле:

Rho = K × T × e^−rT × N(d2),

d2 = [ln(S ÷ K) + (r − σ² ÷ 2) × T] ÷ [σ × √T].

Для опциона пут

Rho = −K × T × e^−rT × N(−d2).

Если на акцию выплачиваются дивиденды по ставке q, то величина d2 вычисляется по следующей формуле:

d2 = [ln(S ÷ K) + (r − q − σ² ÷ 2) × T] ÷ [σ × √T].

Из формул следует, что цена европейского опциона колл растет с увеличением процентной ставки, а цена опциона пут, напротив, уменьшается с ростом процентной ставки.

Вопросы

1) Данные в табл. получены путем вычислений по формулам, указанным выше. На основе этих данных рассчитайте отношение тета/премия. Какой вывод можно сделать о зависимости значения тета/премия от величины дельта?

2) Данные в табл. получены по формулам, указанным выше. На основе этих данных рассчитайте отношение вега/премия. Какой вывод можно сделать о зависимости величины вега/премия от дельты?

3) Инвестор продает N = 1000 трехмесячных европейских опционов колл на акцию с непрерывным начислением дивидендов по ставке q = 5 %. Текущая цена акции S = $50, годовая волатильность = 60 %, непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка r = 7 %, цена исполнения опциона K = $60. Сколько акций необходимо приобрести инвестору, чтобы стоимость его портфеля не сильно колебалась при малых изменениях рыночной цены акции?

4) Позиция инвестора состоит из N = 1000 купленных трехмесячных европейских опционов колл на акцию, по которой не платятся дивиденды. Текущая цена акции σ = $40, годовая волатильность = 40 %, непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка r = 6 %, цена исполнения опциона K = $45. Определить, насколько за день уменьшится стоимость позиции при условии неизменности рыночных параметров.

5) Рассмотрим пример с инвестором из упражнения 3 и сформированным им дельта-нейтральным портфелем. Как повлияет на стоимость этого портфеля сильное изменение цены акции?

Ответы

1) На основе данных таблицы можно сделать вывод о том, что у опционов с низкой дельтой отношение тета/премия больше.

2) Из данных таблицы следует, что у опционов с низким значением дельты отношение вега/премия больше.

3) Задача эквивалентна построению дельта-нейтрального портфеля. Дельта опционной позиции инвестора равна

Следовательно, чтобы дельта портфеля оказалась нулевой, инвестору необходимо приобрести на рынке 443 акции.

4) Тета позиции инвестора равна

Таким образом, за день при условии неизменности рыночных параметров стоимость позиции уменьшится на Theta/365 = $18.

5) Поскольку инвестор продал опционы, а гамма позиции в акциях нулевая, то общая гамма портфеля будет отрицательной, и значит, сильные изменения цены акции в любую сторону увеличат стоимость портфеля.

III. Американские опционы. Опционы на фьючерсы, валюты, сырье, акции и облигации

1. Опционы американского стиля

В отличие от европейского опциона, который может быть исполнен лишь в конце своего срока действия, американский опцион может быть исполнен в любой момент на протяжении этого срока.

Один из способов оценки американских опционов заключается в использовании для этого биномиальных деревьев. Рассмотрим метод на примере вычисления цены американского колл-опциона на бездивидендную акцию.

Период действия опциона разобьем на малые отрезки времени длины dT. Предположим, что на каждом таком отрезке цена акции может от своего начального значения S либо с вероятностью p вырасти до Su, u > 1, либо с вероятностью 1 − p упасть до Sd, d < 1. Предположим также, что u = 1/d, т. е. последовательные движения цены акции сперва вверх, а затем вниз компенсируют друг друга.

Значения u и p определяются из вероятностных соображений. В модели Блэка – Шолца цена акции в момент времени t + dT S(t + dT) есть логнормальная случайная величина с параметрами (lnS + (r – σ²/2) × dT, σ × √dt), где S – цена акции в момент t. Исходя из этого можно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины S(t + dT), которые оказываются равными S × e^{r × dT} и S² × e^{2r × dT} (e^{σ² × dT} − 1) соответственно.

В рассматриваемой нами модели S(t+dT) представляет собой дискретную случайную величину, с вероятностью p, равную Su, и с вероятностью 1 − p, равную Sd (ее математическое ожидание есть pSu + (1 − p)Sd, а дисперсия pS²u² + [(1 − p)S²d² – S²(pu + (1 − p)d)]. Чтобы такое приближение было наиболее точным, нужно, чтобы у этих двух случайных величин – дискретной и логнормальной совпадали математические ожидания и дисперсии. В таком случае для u, p и d с большой степенью точности выполняются равенства

p = (e^{r× dT} − d) /(u – d),

u = 1 /d = e^{σ × √dT}.