Опционы. Полный курс для профессионалов

В этом случае после исполнения опциона мы получим прибыль S(T) – K, а вложенные в начале периода K × e – rT долларов вырастут до K долларов. Следовательно, стоимость портфеля равна

S(T) − K + K = S(T),

S(T) < K.

В этом случае исполнение опциона невыгодно. Следовательно, стоимость портфеля равна стоимости денег, т. е. K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Второй портфель:

S(T) > K.

В этом случае продажа акции по цене K невыгодна, так как текущая цена выше. Стоимость портфеля равна стоимости одной акции, т. е. S.

S(T) < K.

В этом случае мы исполняем опцион и продаем акцию по цене K, которая выше текущего курса. Стоимость портфеля равна K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Нетрудно заметить, что в момент исполнения опционов оба портфеля имеют одинаковую стоимость при любом значении цены акции. Условие безарбитражности рынка позволяет сделать вывод, что и в данный момент оба портфеля должны стоить одинаково, т. е.

C + K × e^−rT = P + S.

Здесь

S – текущая цена акции;

K – цена исполнения опционов;

C – стоимость опциона колл;

P – стоимость опциона пут.

Полученное равенство называется формулой паритета колл/пут.

Исходя из нее, получаем, что цена опциона пут на акцию без дивидендов равна:

P = K × e^−rT × N(−d2) − S × N(−d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию без дивидендов.

Если на акцию начисляются дивиденды по ставке q, то цена опциона пут равна:

P₁ = K × e^−rT × N(–d2) − S × e – q T × N(−d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию с непрерывно начисляемыми дивидендами.

Вопросы

1) Рассматривается акция, по которой непрерывно начисляется дивиденд по ставке q = 5 %. Текущая цена акции $50, волатильность 60 %, непрерывно начисляется безрисковая ставка 7 %. Найдите вероятность исполнения трехмесячного европейского опциона колл на эту акцию в случаях, когда цена исполнения составляет $40 и $60.

2) Инвестор приобрел 5 полугодовых европейских опционов колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Определите средние затраты инвестора по исполнению опциона колл, если известны следующие данные:

• цена акции в настоящий момент $50;

• цена исполнения опционов $60;

• волатильность акции и безрисковая ставка на следующие полгода равны 70 % и 8 % соответственно.

3) Рассмотрим трехмесячный опцион колл на акции без дивидендов. Текущая цена акции $50, цена страйк $49, безрисковая ставка – 5 %. Сколько стоит трехмесячный опцион пут на эту акцию с таким же значением страйк, если опцион колл стоит $5?

Ответы

1) Сначала рассмотрим опцион с ценой исполнения $40. Вероятность его исполнения равна N(d2).

d2 = [ln(S /K) + (r − q – σ²/2) × T] ÷ [σ × √T] =

= [ln(50 ÷ 40) + (0,07 − 0,05 − 0,36 ÷ 2) × 0,25] ÷ [0,6 × 0,5] =

= [0,223 − 0,04] ÷ [0,3] = 0,61.

N(d2) = N(0,61) = 0,7291.

Для K = $60 имеем:

d2 = [ln(S /K) + (r − q − σ²/2) × T] ÷ [σ × √T] =

= [ln(50 ÷ 60) + (0,07 − 0,05 − 0,36 ÷ 2) × 0,25] ÷ [0,6 × 0,5] =

= [−0,182 − 0,04] ÷ [0,3] = −0,74.

N(d2) = N(−0,74) = 0,2296.

2) В случае исполнения опционов инвестор должен будет потратить 5 × $60 = $300 на покупку акций. В случае неисполнения опционов затраты инвестора равны 0. Средние затраты AC (average costs) будут равны затратам на исполнение, умноженным на вероятность исполнения опционов.

AC = 300 × N(d2).

В данной задаче:

S = 50;

K = 60;

r = 8 % = 0,08;

σ = 70 % = 0,7;

T = 0,5.

d2 = [ln(S /K) + (r – σ²/2) × T] ÷ [σ × √T] =

= [ln(50 ÷ 60) + (0,08 − 0,49 ÷ 2) × 0,5] ÷ [0,7 × 0,707] =

= [−0,182 − 0,083] /[0,495] = –0,54.

N(d2) = N(−0,54) = 1 − N(0,54) = 0,2946.

AC = 300 × 0,2946 = 88,38.

3) Из паритета пут-Колл P = C + K × e^−rT − S = 5 + 49 × e^−0,05 × 0,25 − 50 = 5 + 48,39 − 50 = 3,39.

II. «Греки» – параметры, используемые в управлении портфелем

«Греки» (greeks) – производные цены опциона – играют большую роль в теории управления портфелями, состоящими из опционов и акций.

Ниже приведены формулы производных («греков») и объясняется их смысл. Рассмотрен колл-опцион на акции, по которым непрерывно начисляется дивиденд по ставке q. Аналогичные формулы для валютных и фьючерсных опционов могут быть получены путем замены q на соответственно ставку доходности в валюте или ставку безрисковой доходности.

1. Дельта

Дельта (Delta) – производная цены опциона по текущему курсу акций. Она показывает, как изменится стоимость опциона при изменении цены акции на 1 единицу (один рубль, один доллар и т. д.):

delta = dC/dS.