Опционы. Полный курс для профессионалов

Модель Блэка – Шолца была первой моделью для оценки опционов. Она использует в качестве базового актива акции. Модель[138] предполагает, что в момент исполнения опциона цена актива является логнормальной случайной величиной, т. е. логарифм отношения цен актива в текущий момент и в момент исполнения опциона имеет нормальное распределение. Это предположение довольно точно описывает реальные данные и позволяет в текущий момент оценить стоимость актива в будущем. В частности, исходя из него можно найти среднее значение цены актива и вероятность для нее подняться выше определенного уровня.

Для выведения формулы цены опциона Блэк, Шолц и Мертон вывели формулу стоимости акции. Она зависит от времени, оставшегося до исполнения опциона, цены базового актива в настоящий момент, непрерывно начисляемой безрисковой процентной ставки, а также еще одного параметра – волатильности актива.

σ – волатильность актива – параметр, характеризующий изменчивость цены актива[139].

Цена актива с большей волатильностью подвержена большим изменениям, нежели цена актива с меньшей волатильностью. В реальной жизни волатильность актива меняется в разные моменты времени, однако в данной модели мы считаем ее постоянной на протяжении всего срока действия опциона.

В момент исполнения опциона возможны две ситуации:

1) S(T) > K, т. е. цена базового актива выше цены исполнения – в таком случае прибыль от исполнения опциона равна S(T) − K [актив покупается по цене K, а затем немедленно продается по текущей цене S(T)].

2) S(T) ≤ K, т. е. цена базового актива ниже цены исполнения – тогда исполнять опцион не имеет смысла, поскольку не дороже будет купить актив по текущей цене. Прибыль от исполнения в этом случае равна 0.

Следовательно, прибыль от исполнения опциона составляет

max[0,S(T) − K][140].

Возможная прибыль от исполнения опциона на сегодняшний момент времени составляет:

max[0, S(T) − K] × e^-rT,

где e^−rT – дисконтный фактор, приводящий будущую стоимость к сегодняшней. Возможная прибыль равна внутренней стоимости, умноженной на дисконтный фактор.

Поскольку цена актива – случайная величина, то цена опциона в настоящий момент времени или текущая премия равняется математическому ожиданию возможной прибыли:

C = E{e^−rT × max[0, S(T) − K)]}.

После подстановки вместо S(T) логнормальной случайной величины и проведения математических выкладок, связанных с вычислением математического ожидания, мы получаем формулу Блэка – Шолца для европейского опциона колл на акцию без начисления дивидендов:

Здесь N(x) – функция распределения стандартной нормальной случайной величины; ее можно определить из таблицы стандартного нормального распределения.

Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:

N(d2) – вероятность того, что опцион будет исполнен, тогда:

K × e^−rT × N(d2) – дисконтированные средние ожидаемые затраты по исполнению опциона;

S × N(d1) – дисконтированное среднее ожидаемое значение цены акции в момент исполнения опциона.

Таким образом, первое и второе слагаемые исходят из ваших средних ожидаемых доходов и расходов при исполнении опциона.

2. Параметры цены опциона

Из формулы Блэка – Шолца вытекает, что цена опциона зависит от следующих параметров:

r – непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка;

T – время, оставшееся до исполнения опциона;

S – цена акции в текущий момент;

K – цена исполнения опциона;

σ – волатильность акции.

Выясним, как исходные параметры влияют на цену колл-опциона. Для этого рассмотрим изменения каждого параметра, предположив, что остальные остаются постоянными.

Зависимость цены от страйка

С уменьшением K цена возрастает, так как опцион колл с меньшей ценой исполнения предпочтителен, поскольку предоставляет возможность купить актив по более низкой цене. Опцион с меньшим значением K стоит дороже не только потому, что вероятность его исполнения больше, но и потому, что на его исполнении вы больше зарабатываете.

Зависимость цены от волатильности

Чем больше σ, тем сильнее отклоняется цена акции от некоего среднего значения. С ростом цены акции возможная прибыль по опциону неограниченно возрастает, при уменьшении же цены убытки ограничены заплаченной премией, поскольку вы не обязаны исполнять опцион в убыток себе. Отсюда следует: опцион на актив с большей волатильностью должен стоить больше опциона на актив с меньшей волатильностью.

Зависимость цены от времени, оставшегося до исполнения опциона