Родился в 1752 году в Ливадии (Беотия, Центральная Греция). В возрасте 17 лет Ламбрас вместе с братом и другими греками-волонтерами поступил в средиземноморскую эскадру Спиридова. Вскоре его старший брат погиб в морском сражении. Ламбрас поступил в русский егерский корпус и участвовал в десантах русского флота.
В 1770–1774 годах участвовал в военных действиях русской армии на Пелопоннесе и в Эгейском архипелаге. Флотилия Ламбраса Качониса должна была восполнить нехватку русских кораблей в Средиземном море и отвлечь на себя значительные силы врага. Качонис успешно отнимал у османов суда и стал для них постоянной головной болью, а для остального мира – предметом восхищения. После окончания русско-турецкой войны в 1774 году переехал в Россию, где служил офицером в греческом пехотном полку.
В 1777–1778 годах сержант Качонис отличился в подавлении татарского бунта и получил офицерское звание. В 1781 году поручик Качонис был командирован в Персию под начальство графа М. Войновича. 21 апреля 1785 года указом императрицы Качонис был «пожалован в благородное российское дворянство и внесен во вторую часть Родословной книги Таврического дворянства».
Во время русско-турецкой войны 1787–1792 годов командовал добровольческой греческой флотилией на Средиземном море, которая нанесла поражение нескольким турецким эскадрам. В мае 1792 года Качонис издал воззвание, в котором заявил, что Ясский мир 1791 года заключен без учета интересов греков и что борьба против турок будет продолжаться, «пока греки не добьются своих прав». В Южном Пелопоннесе флотилия, возглавляемая Качонисом, вела борьбу против турецкого флота. В неравной борьбе Качонис потерпел поражение и укрылся в венецианских владениях, а затем возвратился в Россию, где стал командиром Балаклавского греческого батальона.
20 сентября 1795 года Качонис был представлен Екатерине II. Императрица подарила Качонису поместья в Крыму. Качонис построил усадьбу в местечке Панас-чаир, что в переводе с татарского означает «священный луг» и совпадает с именем родного города Качониса – Ливадии (ливади – по-гречески луг). Качонис назвал свою усадьбу Ливадия и со временем стал успешным промышленником и коммерсантом.
Ламбрас Качонис погиб в 1805 году от руки подосланного убийцы. Когда Качонис понял, что отравлен, вытащил кинжал и зарезал своего убийцу. После смерти героя крымская Ливадия неоднократно меняла хозяев, пока не стала резиденцией русских царей.