От абака к цифровой революции

В 1983 году в гробнице 186 года до н. э. было найдено 190 бамбуковых пластинок с математическими текстами. Каждая пластинка имела 30 сантиметров в длину и 6–7 миллиметров в толщину. Всего на них было записано примерно 7000 иероглифов. Пластинки изначально были скреплены между собой по порядку и свернуты, однако на раскопках гробницы они были найдены в беспорядке, поскольку соединявшие их нити истлели от времени. Ученым пришлось немало поломать головы, чтобы восстановить исходный порядок расположения пластин.

Репродукция XVIII века одной из задач китайского математика Лю Хуэя, в которой требуется измерить высоту берега острова.

После того как текст книги был восстановлен, ученые подробно изучили его и поняли, что к ним в руки попал труд величайшей важности. Он содержал задачи различных типов, в которых требовалось рассчитать налог, вычислить объем и так далее. Несмотря на практическую направленность, в этих задачах интересным образом применялся, в частности, метод ложного положения, а также алгоритмы вычисления квадратных корней. Интерес представляют и формулировки задач, подчас аллегорические.

* * *

ЗАДАЧА ИЗ «МАТЕМАТИКИ В ДЕВЯТИ КНИГАХ»

Следующая задача, приведенная в свитках 34 и 35 «Математики в девяти книгах», может служить примером того, какие вопросы рассматривались в этой книге. Она звучит так: «Лиса, лесная кошка и собака должны заплатить на таможне 111 монет. Собака говорит кошке, а кошка говорит лисе: Твоя шкура вдвое дороже моей, ты должна заплатить в два раза больше”. Сколько должен заплатить каждый?»

* * *

Следующие части книги посвящены разделам китайской математики, относящимся к интересующей нас теме — к счету и системам счисления. Стоит отметить, что китайские математики совершили множество других важных открытий, которые не упоминаются в следующих главах, но тем не менее занимают важное место в истории математики. В частности, они разработали методы решения уравнений и геометрических задач о равенстве фигур.

Числа и система счисления в Китае

Древнейшая форма вычислений, которая бытовала в Древнем Китае, восходит к IV веку до н. э. Для вычислений использовались палочки, известные как суань  или чоу . Со временем на смену этим палочкам пришел абак. Эти палочки, которые располагались горизонтально и вертикально, обозначали цифры от 1 до 9.

Существовало две системы обозначений. В первой за основу было взято вертикальное положение палочек, что можно видеть на следующей иллюстрации, где слева направо записаны числа от 1 до 9.

Во второй системе за основу было взято горизонтальное положение палочек, как показано далее. Здесь тоже представлены числа от 1 до 9.

Эта система счисления использовалась на табличках, где для представления чисел цифры записывались по-разрядно. Например, число 4508 на такой табличке записывалось следующим образом.

Как вы можете видеть, в записи чисел участвовали обе системы одновременно: вертикально расположенные палочки обозначали единицы, сотни и так далее; палочки, расположенные горизонтально, — десятки, тысячи и следующие разряды. Если одна из цифр равнялась нулю, соответствующая позиция оставалась пустой, как вы можете видеть на примере записи числа 4508. Аналогичным образом записывались отрицательные числа. Положительные и отрицательные числа различались цветом палочек: для записи положительных чисел использовались красные палочки, для записи отрицательных — черные.

Арифметические действия выполнялись на той же табличке с теми же палочками. Сложение и вычитание производились путем добавления палочек или удаления их с доски. Были известны методы умножения и деления, а также алгоритмы выполнения других алгебраических операций, в частности нахождения корней многочленов.

Система вычислений с помощью палочек также появилась в Корее и Японии (точный период неизвестен). Известно, что эта система применялась в Японии в период правления императрицы Суйко (593–628) под названием санги.

Абак был известен в Китае начиная со II в. до н. э. под названием суаньпань. Китайский абак делился на две части: костяшки верхней части обозначали пять единиц (либо десять, сто и так далее), а каждая костяшка в нижней части обозначала единицу. Подобным образом на две части делился и римский абак. Учитывая длительную торговлю Римской империи с Китаем, некоторые исследователи всерьез полагают, что римский и китайский абак были созданы под влиянием друг друга.