Открытие без границ. Бесконечность в математике

Прыжком Лейбница был переход от дискретного к непрерывному. Комбинаторика, которой он владел в совершенстве, — это дискретный мир, но мир функций и кривых является не дискретным, а непрерывным, и именно при переходе от одного к другому проявился математический гений и смелость Лейбница, так как он смог преобразовать неделимые Кавальери в новую математическую сущность — бесконечно малые, для чего создал особые алгоритмы. Рассмотрим ключевой элемент созданного Лейбницем анализа бесконечно малых, изложенный в упрощённом виде на языке современной математики.

* * *

СПОСОБНОСТИ К ЯЗЫКАМ

Лейбниц был сыном известного юриста и в шесть лет остался сиротой. Учился он самостоятельно и все силы отдал изучению латыни, так как именно на ней было написано большинство книг в библиотеке, оставшейся от отца. В десять лет Лейбниц уже читал классические труды на латыни и греческом, а в 13 — писал гекзаметром на латыни. Подобными выдающимися способностями к языкам отличается большинство известных математиков.

* * *

Нам известно, что прямая определяется двумя точками, но она также может определяться одной точкой и углом наклона. Например, прямые r₁ и r₂, проходящие через начало координат, определяются углами наклона α и β соответственно.

Мы говорим об угле наклона не только применительно к математическому анализу, но и в повседневной жизни, например когда речь идёт об угле наклона на участке автомагистрали.

С помощью транспортира можно узнать конкретную величину угла, например 24°. Другой способ измерить угол состоит в определении его тангенса. В прямоугольном треугольнике ABC тангенсом угла называется отношение длины противолежащего катета к прилежащему.

* * *

ОСНОВЫ МЕЖДУНАРОДНОГО ПРАВА

В 15 лет Лейбниц начал изучать право в Лейпцигском университете. Несмотря на то что большую часть времени он уделял изучению философии, через пять лет Лейбниц получил право на степень доктора юриспруденции, которую ему отказались присвоить ввиду юного возраста студента. После этого он перевёлся в Альдорфский университет в Нюрнберге, где защитил позднее ставшую знаменитой диссертацию об историческом характере законодательства, в которой заложил основы международного права.

* * *

Будем обозначать тангенс буквами tg: tg(α) = АВ/СВ.

Теперь предположим, что дана непрерывная кривая (то есть её можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги) у = f(х) и мы хотим найти касательную к этой кривой в её произвольной точке, которую обозначим Р. Как мы уже говорили, прямая определяется точкой и углом наклона. Точка Р уже известна, и единственное, что осталось найти, — угол наклона искомой прямой. Лейбниц в качестве основы всех своих вычислений использовал построение треугольника, который он называл характеристическим треугольником. По сути, этот треугольник стал краеугольным элементом анализа бесконечно малых.

Обозначим координаты точки Р через х и у. Теперь выберем точку Q кривой и обозначим её координаты х + Δх, у + Δу. Нетрудно показать, что угол наклона прямой, проходящей через точки Р и Q, определяется как tg(α) = Δу/Δх. Если теперь мы приблизим точку Q к точке Р, ничего особенно не изменится — просто уменьшатся Δх и Δу. Это приближение можно осуществлять непрерывно, так что упомянутые нами изменения х и у будут сколь угодно малыми. В определённый момент они станут достаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь, то есть они не будут влиять на результат. Эти бесконечно малые величины Лейбниц назвал дифференциалами, dx и dy соответственно.

При непрерывном приближении точки Q к точке Р прямая, соединяющая эти точки, приближается к касательной кривой в точке Р так, что искомый угол наклона α можно будет получить из формулы

Когда расстояние между P и Q станет бесконечно малым, будет выполняться условие

* * *